Strahl (Geometrie)

Strahl mit dem Ursprung $A$ in Richtung $B$

Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Anfangspunkt begrenzt ist und sich auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt. Man kann sich den Strahl durch die Bewegung eines Punktes vorstellen, die im Anfangspunkt beginnt und ohne Richtungsänderung auf einer Geraden erfolgt, ähnlich wie ein Lichtstrahl.

Bezeichnungen und Eigenschaften

Der Punkt $A$ zerlegt die orientierte Gerade $g$ in die Halbgeraden $g_{A}^{-}$ und $g_{A}^{+}$.

Ein Strahl ist eindeutig bestimmt durch seinen Anfangspunkt $A$ und einen weiteren Punkt $B$ auf dem Strahl, der seine Richtung spezifiziert; man spricht auch vom Strahl mit dem Ursprung $A$ in Richtung $B$. Er wird häufig mit $[AB$ oder ${\overrightarrow {AB}}$ bezeichnet, wobei die erste Schreibweise zum Ausdruck bringt, dass der Strahl durch den Punkt $A$ begrenzt wird, sich aber über den Punkt $B$ hinaus erstreckt. Gehört der Anfangspunkt zum Strahl, so spricht man von einer abgeschlossenen Halbgeraden, ansonsten von einer offenen Halbgeraden.

Jeder Punkt $A$ auf einer Geraden $g$ zerlegt die Gerade in zwei komplementäre Strahlen $h_{1}$ und $h_{2}$ mit gemeinsamem Anfangspunkt $A$. Somit lässt sich ein Strahl als Teil einer Geraden auffassen, was die alternative Bezeichnung Halbgerade rechtfertigt.

Für eine logisch strenge Definition eines Strahls im Rahmen eines Axiomensystems gibt es zwei Möglichkeiten: Ist die Gerade mit einem Durchlaufsinn (Orientierung) versehen, so lässt sich die eine Halbgerade definieren als die Menge aller Punkte, die vor $A$ liegen und die andere Halbgerade als die Menge aller Punkte, die hinter $A$ liegen. Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) hingegen lässt sich die Halbgerade $[AB$ definieren als die Menge aller Punkte $X$ auf der Geraden $AB$, für die $A$ nicht zwischen $B$ und $X$ liegt.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade $[AB$ der Menge aller Punkte $X$, deren Ortsvektor ${\vec {X}}$ gegeben ist durch

${\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda ({\vec {b}}-{\vec {a}})$ mit $\lambda \geq 0$.

Dabei sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ die Ortsvektoren der Punkte $A$ und $B$. $\lambda$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung. Zur Definition einer offenen Halbgeraden schränkt man den Parameter auf echt positive Werte ein.