Variable aléatoire

La valeur d’un dé après un lancer est une variable aléatoire comprise entre 1 et 6.

En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une formalisation mathématique d'une quantité aléatoire, c'est-à-dire qui dépend du hasard (définition exacte). En voici des exemples : la valeur d’un dé entre 1 et 6 ; le côté de la pièce dans un pile ou face ; le nombre de voitures en attente dans la 2^e file d’un télépéage autoroutier ; le jour de semaine de naissance de la prochaine personne que vous rencontrez ; le temps d’attente dans la queue du cinéma ; le poids de la part de tomme que le fromager coupe quand vous lui en demandez un quart ; etc.

Le terme « variable aléatoire » est trompeur car mathématiquement une variable aléatoire n'est ni une variable ni un objet aléatoire. Formellement, une variable aléatoire est une application (i.e. une fonction) définie sur l’ensemble des éventualités, c’est-à-dire l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Elle associe une valeur à chaque éventualité.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant un gain à une éventualité (résultat du lancer d’un ou plusieurs dés, d’un tirage à pile ou face, d’une roulette, etc.). Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d’une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Introduction

Les valeurs possibles d'une variable aléatoire pourraient représenter les résultats possibles d'une expérience, dont la valeur déjà existante est incertaine. Ils peuvent aussi représenter conceptuellement soit les résultats d'un processus aléatoire « objectif » (comme lancer un dé) ou le caractère aléatoire « subjectif » qui résulte de la connaissance incomplète d'une quantité (comme la température qu'il fera dans 5 jours). La signification des probabilités attribuées aux valeurs possibles d'une variable aléatoire ne fait pas partie de la théorie des probabilités, mais est plutôt liée à des arguments philosophiques sur l'interprétation de la probabilité. Les mathématiques fonctionnent de la même manière quelle que soit l'interprétation.

La fonction mathématique décrivant les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leur probabilité est connue sous le nom de loi de probabilité ou de distribution de probabilité. Les variables aléatoires peuvent être de trois natures : discrètes, continues ou un mélange des deux. Elles sont discrètes quand elles peuvent prendre toutes les valeurs d'une liste finie ou dénombrable de valeurs spécifiées, et elles sont alors dotées d'une fonction de masse, caractéristique d'une distribution de probabilités. Elles sont continues quand elles peuvent prendre une valeur numérique quelconque d'un intervalle ou d'une famille d'intervalles, par l'intermédiaire d'une fonction de densité de probabilité caractéristique de la distribution de probabilités. Les réalisations d'une variable aléatoire, c'est-à-dire, les résultats des valeurs choisies au hasard en fonction de la loi de probabilité de la variable, sont appelées des variations aléatoires.

Définitions

Une variable aléatoire est une fonction mesurable d'un espace inconnu (l'univers Ω ) vers un espace d'état E, connu. À chaque élément mesurable B de E, on associe son image réciproque dans Ω. La mesure $\mathbb {P} _{X}$ (loi de probabilité de X) sur E se déduit donc de la mesure $\mathbb {P}$ sur Ω.

Une variable aléatoire $X$ est une fonction $X:\Omega \rightarrow E$, c'est-à-dire une fonction qui à toute éventualité $\omega$ dans l'univers $\Omega$ des éventualités associe une valeur $x$ dans un ensemble $E$. On impose à une variable aléatoire de vérifier une condition plus subtile, qui repose sur la théorie de la mesure. Plus précisément, on considère un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ où $\Omega$ est l'univers, où ${\mathcal {F}}$ est une collection d'événements qui forme une tribu sur $\Omega$ et où $\mathbb {P}$ est une mesure de probabilité. Les valeurs de $X$ sont supposées prises dans un espace mesurable $(E,{\mathcal {E}})$, où $E$ est un ensemble et ${\mathcal {E}}$ une tribu sur $E$.

Définition — Soit $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ un espace probabilisé et $(E,{\mathcal {E}})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de Ω vers E, toute fonction mesurable X de Ω vers E.

Pour tout sous-ensemble B de la tribu ${\mathcal {E}}$, l'image réciproque $X^{-1}(B)$ par X de B est l'ensemble $\left\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\right\}$, c'est-à-dire l'ensemble des éventualités $\omega$ où la valeur prise $X(\omega )$ est dans B. La condition de mesurabilité de la fonction X assure que l'image réciproque $X^{-1}(B)$ possède une probabilité. Ainsi, elle permet de définir une mesure de probabilité $\mathbb {P} _{X}$ sur $(E,{\mathcal {E}})$ définie par :

$\mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)$

La mesure $\mathbb {P} _{X}$ est l'image, par l'application X, de la probabilité $\mathbb {P}$ définie sur $(\Omega ,{\mathcal {F}})$. La quantité $\mathbb {P} _{X}(B)$ est notée plus simplement $\mathbb {P} \left(X\in B\right)$.

Définition —  La probabilité $\mathbb {P} _{X}$ est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Dans la suite, ${\mathcal {B}}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique E.

Cas standard

Lorsque l'image est finie ou infini dénombrable, cette variable aléatoire est alors appelée une variable aléatoire discrète, et sa distribution peut être décrite par une fonction de masse de probabilité qui assigne une probabilité de chaque valeur à l'image de X. Si l'image est indénombrablement infinie, alors on appellera X une variable aléatoire continue. Dans le cas où sa continuité est absolue, sa distribution peut être décrite par une fonction de densité de probabilité, qui affecte des probabilités aux intervalles; en particulier, chaque point individuel doit nécessairement avoir une probabilité nulle pour une variable aléatoire absolument continue. Toutes les variables aléatoires continues ne sont pas absolument continues, par exemple une distribution de mélange. De telles variables aléatoires ne peuvent pas être décrites par une densité de probabilité ou une fonction de masse de probabilité.

Toute variable aléatoire peut être décrite par sa fonction de répartition cumulative, qui donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur.

Extensions

Le terme « variable aléatoire » en statistiques est traditionnellement limité au cas de la valeur réelle ($E=\mathbb {R}$). Ceci assure qu'il est possible de définir des quantités telles que la valeur attendue et la variance d'une variable aléatoire, sa fonction de répartition cumulative, et les