Aksioma

Aksioma (no grieķu: αξιωμα — "atzīts par derīgu esam, pašsaprotams") ir kādas teorijas tēze, ko izmanto citu šīs teorijas tēžu pierādīšanai, bet pašu šajā teorijā pieņem bez pierādījuma, arī atzinums (izteikums), ko bez pierādījumiem pieņem par patiesu.

Ģeometrijas aksiomām matemātikā ir īpaša nozīme. Ģeometrijas aksiomas ir pamatatziņas, uz kurām pamatojas visa ģeometrija. Izmainot kādu no aksiomām, mainās arī pati ģeometrija.

Vēsture

Aksiomas jēdziens radās Senajā Grieķijā un sākotnēji apzīmēja apgalvojumu, kas tika uzskatīts par acīmredzamu un tādēļ neprasīja pierādījumu. Būtiska nozīme aksiomātiskās metodes attīstībā bija sengrieķu filozofam Aristotelim, kurš aplūkoja zināšanu veidošanu no sākotnējiem, bez pierādījuma pieņemtiem principiem.

Īpaši nozīmīga aksiomu izmantošana kļuva ģeometrijā. Ap 300. gadu p.m.ē. sengrieķu matemātiķis Eiklīds darbā Elementi sistematizēja sava laika ģeometriskās zināšanas, sākot tās ar definīcijām, postulātiem un vispārīgiem pieņēmumiem. No tiem ar loģisku pierādījumu palīdzību tika iegūti citi ģeometrijas apgalvojumi. Šāda pieeja kļuva par vienu no svarīgākajiem aksiomātiskās metodes paraugiem matemātikas vēsturē.

Gadsimtiem ilgi īpaša uzmanība tika pievērsta Eiklīda piektajam jeb paralēlo taišņu postulātam. Matemātiķi mēģināja to pierādīt, izmantojot pārējos Eiklīda pieņēmumus, taču 19. gadsimtā Nikolajs Lobačevskis, Jānošs Bojai un citi matemātiķi parādīja, ka, aizstājot šo postulātu ar citu, iespējams izveidot loģiski konsekventas neeiklīda ģeometrijas. Tas būtiski mainīja priekšstatu par aksiomu būtību — aksiomas vairs neuzskatīja tikai par pašsaprotamām patiesībām par reālo pasauli, bet arī par sākotnējiem pieņēmumiem, uz kuriem tiek veidota noteikta formāla sistēma.

19. gadsimta beigās un 20. gadsimta sākumā aksiomātiskā metode tika tālāk formalizēta. Nozīmīgu ieguldījumu sniedza vācu matemātiķis Dāvids Hilberts, kurš 1899. gada darbā Ģeometrijas pamati (vācu: Grundlagen der Geometrie) izveidoja sistemātisku ģeometrijas aksiomu kopumu un pievērsa uzmanību aksiomu sistēmu neatkarībai, pilnīgumam un nepretrunīgumam.

20. gadsimtā aksiomātiskā pieeja kļuva par vienu no matemātikas pamatiem un tika plaši izmantota ne tikai ģeometrijā, bet arī kopu teorijā, algebrā, matemātiskajā loģikā un citās matemātikas nozarēs. Aksiomas mūsdienu matemātikā parasti tiek saprastas kā sākotnēji apgalvojumi, kas konkrētās formālās sistēmas ietvaros tiek pieņemti bez pierādījuma un no kuriem, izmantojot noteiktus loģiskās secināšanas likumus, iegūst teorēmas.