レーモン・クノー「ダフィット・ヒルベルトによる文学基礎論」

【原典：Raymond Queneau, « Les Fondements de la Littérature d'après David Hilbet » dans Bibliothèque oulipienne vol. 1, 1987】
【『文体練習』『地下鉄のザジ』『ある歴史モデル』など実験的作風で知られるレーモン・クノー（1903-1976）が、ヒルベルト『幾何学基礎論』の「点」「直線」「平面」を「単語」「文」「段落」に置き換えて文学の公理系を作ろうとした、ウリポらしい言語遊戯の小品です。（）は原文にあるもの、脚註は訳者によるもの、太字は原文イタリックや大文字による強調です】

ハレでウィーナー（もちろんノーバートではない[1]）によるデザルグの定理やパップスの定理[2]に関する講演を聴いたあと、ダフィット・ヒルベルトは、ベルリン駅でケーニヒスベルク行の列車を待ちながら、思わしげに呟いた。「点や直線や平面の代わりに、テーブルや椅子やビアマグ[3]という言葉を使っても同じことだ」。この考察から、1899年に『幾何学基礎論』という著作が生まれ、その中で著者は、ユークリッド幾何学について、おまけに他にも幾つかの幾何学についての公理系を、決定的に（あるいはひとまず決定的に）確立した。この輝かしい先例に触発されて、わたしはここで、ヒルベルトの諸命題における「点」「直線」「平面」という言葉を、それぞれ「単語」「文」「段落」に置き換え、文学の公理系を提示する。

『幾何学基礎論』は現在フランス語に翻訳されている（ポール・ロシェ訳、デュノド社、パリ、1971）ので、読者は容易に元の定式を参照できるだろう。ヒルベルトが五つの公理群を明示していることを思い出そう、すなわち、結合、順序、合同、平行線、連続性だ。

公理群I
（結合の諸公理）

I, 1. – 二つの単語に対し、これらを含む一つの文が存在する。

註釈：明らかである。例：「ラ」と「ら」という二つの単語があるとすると、この二つの単語を含む「ヴァイオリン奏者がラの音を女性歌手らに示す」という一つの文が存在する。

I, 2. – 二つの単語に対し、これらを含む文は一つより多くは存在しない。

註釈：こちらは逆に、驚きかもしれない。
しかし、仮に「長いこと」と「寝ていた」という二つの単語を考えてみると、これらの単語を含む文、すなわち「長いことわたしは早くに寝ていた[4]」がひとたび書かれたならば、あらゆる他の表現、たとえば「長いことわたしはさっさと寝ていた」や「長いことわたしは遅くないうちに寝ていた」が、この公理によって棄却されるべき疑似文にすぎないことは明らかである。
補註：もちろん、もし「長いことわたしはさっさと寝ていた」と書いたら、公理I, 2によって不採用とせねばならないのは「長いことわたしは早くに寝ていた」だ。言い換えれば、『失われた時を求めて』を二回書くことはできない。

I, 3 – 一つの文のうちには少なくとも二つの単語が存在する。一つの文に属さない少なくとも三つの単語が存在する。

註釈：したがって、一つの単語のみの文は存在しない。「はい」「いいえ」「おーい」「おい」は文ではない。公理の後半について：したがって、使われている言語は少なくとも三語を含むと考えられる（フランス語についていえば、当たり前である）、また他方で、ある言語の全ての単語（あるいは一語または二語を除く全ての単語）を含む文の可能性は排除される。

I, 4a – 同一の文に属さない三つの単語を含む一つの段落が存在する。

註釈：ここから直ちに、一つの段落は少なくとも二つの文を含むことが導かれる。公理I, 1から公理I, 4までの表明は公理I, 2と矛盾していることに注意すべきである、なぜなら、これら四つは全て、記述するために「単語」と「文」という単語を必要とするが、その公理によれば、これらを含むのは一つの文だけであるべきだからである。

したがって、次のメタ文学の公理を述べることができる。

公理は公理に従わない。

I, 4b – 全ての段落は少なくとも一つの単語を含む。

註釈：したがって、「はい」「いいえ」「おーい」「おい」といった、公理I, 3によれば文ではないものは、単独で一つの段落を構成することはできない。

I, 5 – 同一の文に属さない三つの単語に対し、これらを含む段落は一つより多くは存在しない。

註釈：したがって、I, 2で単一性が問題となったのと同様、ここでは段落が問題となる。つまり、ある段落で同一の文に属さない三つの単語を使用したら、それらを別の段落で再び使用することはできない。しかし、別の段落で、それらが同一の文に属しているとしたらどうか？　この公理によれば、それは不可能である。

I, 6 – 一つの文の二つの単語が一つの段落に属していれば、この文の全ての単語がこの段落に属している。

註釈：註釈は不要である。

I, 7 – 二つの段落が一つの単語を共有していれば、共有している単語がもう一つ存在する。

註釈：この公理に従うため、作家が前の段落で既に現われた単語を次の段落で使用する場合、前の段落に現われたもう一つ別の単語も同様に使用しなければならない。それらの単語が冠詞や助動詞などである場合、制約は軽微である。意味を持つ単語（実詞や形容詞など）の場合、制約は明らかにフローベール的でない[5]。
（定理1の註釈を見よ）

I, 8 – 同一段落に属さない少なくとも四つの単語が存在する。

註釈：つまり、単一の段落で構成される「文章」は「文章」の名に値しない。あるいは、言語（フランス語）は充分な数の単語（少なくとも四つ）を持っている。
（既にI, 3の註釈で見た）

公理I, 7の註釈で、この公理（および既に認められている他の諸公理）から導き出せる全ての帰結を展開しなかった。以下は、ヒルベルトが示した定理の一つ目である。

定理1：一段落上にある別の二文は、多くても一単語しか共有しない。別の二段落は、一単語も共有しないか、一文を共有し他には一単語も共有しない。

註釈：実際、二つの段落に共有される単語が一つあるならば、二つ目も存在しなければならない（I, 7）が、この二つの単語は一つの文を定め、I, 1によれば、この文は一つのみである。したがって、そのとき二つの段落には共有される文が一つ存在する。

こうして、よりフローベール的な考えに立ち返ることとなる。前の段落で既に使用された単語を繰り返すならば、文全体を繰り返さなければならないという厳しい制約がかかる。それならば、その単語を繰り返さないほうがよほど賢明であり、フローベールはこの公理を正確に守っている。

公理群II
（順序の諸公理）

II, 1 – 一文のうちで、ある単語が二つの単語を特定の順序で辿った間にある場合、この単語は二つの単語を逆の順序で辿った間にも位置する。

註釈：当たり前である。

II, 2 – 一文上の任意の二単語について、少なくとも一つの第三の単語が存在し、この単語は第二の単語を第一の単語と第三の単語の間に置くことができる。

註釈：これは驚きかもしれない。読者は、これについて詳細な説明のため、定理3および定理7の註釈を参照してほしい。

II, 3 – 一文上の三単語について、そのうち一つの単語は、他の二単語の間にある。

註釈：よく探せば、文学において、この公理の当てはまらない文が見つかるだろう、たとえば『トリストラム・シャンディ』第98章のような[6]。

II, 4 – 一段落上に、同一の文に属さない三単語があり、また、同じ段落に、この三単語のいずれも含まない一文がある場合、この文が、三単語のうちの二単語によって決定される文に含まれる単語を一つ含んでいるならば、この文は、三単語のうち一つ目と三つ目によって決定される文に含まれる単語を必ず一つ含んでいる。

註釈：この公理を明確にするため、ヒルベルトに立ち返ろう、「より直観的に言えば、一直線が三角形の内部に入れば、それは再び外部に出てくる」と述べられている（フランス語訳のp.15）。

この公理に合致する段落を探したり書いたりするのは、読者に委ねよう。ヒルベルトは続けて幾つかの定理を証明しており、その中には以下のようなものがある。

定理3：任意の二単語に対し、これらが含まれる文には、二単語の間に少なくとも一つの単語が含まれている。

定理7：一文上の二つの単語の間には、無限に多くの単語が存在する。

註釈：公理II, 2に驚いた読者は、おそらく自分が驚いたのは当然だったと思うだろう。驚きを抑え、これらの定理を理解するには、かつての射影幾何学の例に倣って、いわゆる「虚語」と「無限語」の存在を認めるだけでよい。全ての文は無限の単語を含むが、認識されるのはごく限られた数の単語のみで、他の単語は無限遠点か虚点にある。多くの知性がこのことに感づいてはいたが、はっきりと意識してはいなかった。これからは、この重要な定理を無視した修辞学は不可能になるだろう。言語学もこの定理を活用できるはずだ。

平行の公理
（俗にいうユークリッドの公準）

任意の一文に対し、この文に属さない単語が一つあるとする。この文と単語によって定められる段落には、この単語を含む文が一つだけ存在し、最初の一文と共有する単語を一つも持たない。

註釈：「長いことわたしは早くに寝ていた」という文がある。「目覚め」という単語がある。段落のうちに、「目覚め」という単語を含み、かつ「長いことわたしは早くに寝ていた」という文にある単語を含んでいない文が存在し、それは一文だけである、すなわち「そうした思い込みは目覚めから数秒間は残っていた」だ。したがって『失われた時を求めて』の第一段落は、少なくとも局所的には、ユークリッドの公準に従っている。

合同の公理群と連続性の公理群を転置する仕事は、読者に委ねよう。

この転置は、もっと進められるだろう。興味深いことに、円錐曲線のところまで行くと、その（転置の）必要は全くなくなるはずだ。実際、そこにはまさしく修辞学を見いだせる、なぜなら、扱われるのは楕円＝省略法と放物線＝寓話と双曲線＝誇張法だけで[7]、いずれも作家にとって馴染み深い図形だからだ、といっても、現代では楕円＝省略法は稀で、放物線＝寓話は（約2000年もの間）使われておらず、双曲線＝誇張法が多用されている。

（訳：加藤一輝）

[1] ノーバート・ウィーナー（Norbert Wiener, 1894-1964）はアメリカの数学者で、サイバネティクスの提唱者として知られる。ここでいうウィーナーはドイツの数学者ヘルマン・ウィーナー（Hermann Wiener, 1857-1939）で、1891年にハレで開催されたドイツ数学協会にて「幾何学の基礎と構造について」と題する講演を行ない、これがヒルベルト『幾何学基礎論』に影響を与えたとされる。

[2] いずれも射影幾何学の定理。

[3] ドイツで使われる、祝祭で酒を回し飲みするための大きな器（vidrecome）。

[4] プルースト『失われた時を求めて』冒頭の一文。

[5] フローベールは、ある対象を描くには唯一の的確な表現があると考え、その「適切な単語 le mot juste」を見つけるべく、推敲や朗読を繰り返しながら執筆した。

[6] フランス語版の章立てに基づくと思われ、訳者は幾つかの版を確認したが、それらしき章が見あたらず該当箇所不明。

[7] それぞれellipse, parabole, hyperboleで、いずれも幾何学的な意味と修辞学的な意味を併せ持つ。