素因数分解って何？ 因数分解からゆっくり解説してみます😊～リクエスト記事⑦～

こんにちは😊

ひかるです。

「下書きが29本！皆さんはどの記事を読んでみたいですか？😊」の七本目の記事は、たび.さん、donnchanさんに選んで頂きました、ありがとうございます(._.)ｵｼﾞｷﾞ

今回はちょっと書きすぎてしまったので、長くなってしまいました。本当にごめんなさいね(･･)(..)

でも、出来るだけ分かりやすく説明していきたいと思いますので、最後までお付き合い頂ければ嬉しいです😊

Time to study.！
（さあ、勉強の時間だ！）

まずは因数分解から！

数学で「素因数分解」という単元を、中学生の時にやったと思います。

覚えていますでしょうか🤔

実は私、いつやったか覚えてないんです🤣

ではまず、素因数分解を説明する前に「因数分解」について説明しますね。

その方が、素因数分解も分かりやすいと思いますので。

因数分解とは、足し算や引き算で表された式を、いくつかの数や式の積（かけ算）の形に変形することです。

逆に、かけ算の形で表されている式を、足し算や引き算の形に変形することを「展開」と言います。

それを図にしたのがこれ👇
（文字式の場合）

（数値式の場合）

これが理解できれば、因数分解の基本的な考え方はだいぶ分かりますね👍

と、ここで気になるのが「因数」とは何者！？

因数とは？

因数とは、ある数や式をかけ算の形で表したとき、それぞれの要素となる数や式のことです。

これも図にしてみました😊

例えば、45を

45＝5×9

と表した場合、「5」と「9」が45の因数になります。

ちなみに45は、

45＝1×45

45＝3×15

45＝5×9

のようにも表せます。

したがって、1、3、5、9、15、45は、45の正の約数です。

このように、数をかけ算の形で表すと、どんな数がその数を構成しているのかが分かりますね😊

そして、これは数だけではないんです。

例えば、

x²－x

という文字式を考えてみましょう。

これは、

x²－x＝x（x－1）

と、かけ算の形に変形できます。

したがって、「x」と「（x－1）」が、この式の因数になります。

ここで、x²－xの両方の項に共通して含まれているxを「共通因数」と言います。

つまり、共通しているxで括ることで、

x²－x＝x（x－1）

と因数分解できるわけですね😊

因数というのは、簡単に言えば、

「かけ算にしたときの、それぞれのパーツ」

だと思ってもらえばOK👍

因数もだいたい理解出来てきましたか！

では、ちょっとだけ問題です。

以下の文字式を因数分解してみましょう。

簡単な問題から、少しずつ難しくしていきますね😊

◎ 5ab－2ac

◎ 3xy＋x

◎ 6x²y－14xy²

共通因数は、文字だけとは限りません。

数字も含めて、共通しているものを探してみてくださいね⚠️

◎ x²＋2xy＋y²

今度は、3つの項の関係に注目してみましょう！

◎ x²＋5x＋6

掛け算すると6になり、足し算すると5になる2つの数を探してみてくださいね🤔

カチコチ　カチコチ

では、解答をしていきますね😊

◎ 5ab－2ac

これは、aが共通因数なので、aで括ると、

5ab－2ac＝a（5b－2c）

となります。

◎ 3xy＋x

これはxが共通因数なので、xで括って、

3xy＋x＝x（3y＋1）

となります。

◎ 6x²y－14xy²

この文字式は、まず6と14の共通因数を見つけます。

6＝2×3

14＝2×7

したがって、6と14の最大公約数は2ですね。

さらに、文字の部分を見ると、どちらの項にもxとyが含まれています。

つまり、共通因数は2xyです。

これで括ると、

6x²y－14xy²＝2xy（3x－7y）

となります。

ここまでは如何でしたか😊

さて、次の文字式が今までの3問とちょっと違うことに気付きましたか🤔

そう！

この文字式は、3つの項で構成されています。

すべての項に共通する因数はありませんが、式全体の形に注目すると因数分解できます。

◎ x²＋2xy＋y²

まず、次のように考えてみます。

x²＋2xy＋y²

＝x²＋xy＋xy＋y²

＝x（x＋y）＋y（x＋y）

＝（x＋y）（x＋y）

したがって、

x²＋2xy＋y²＝（x＋y）²

となります。

では、少し分かりやすくするために、この文字式を図形で表してみますね😊

このように、図形を使って考えてみると、式の意味が分かりやすくなることもあります。

◎ x²＋5x＋6

最後の問題ですね！

今回は、掛け算すると6、足し算すると5になる2つの数を探します。

それは2と3ですね😊

したがって、

x²＋5x＋6＝（x＋2）（x＋3）

となります。

実際に展開してみると、

（x＋2）（x＋3）

＝x²＋3x＋2x＋6

＝x²＋5x＋6

となるので、正しいことが確認できますね👍

因数分解には、共通因数で括る方法だけでなく、このように式全体の形に注目する方法もあるんです。

ここまでの因数分解は、何となく分かりましたか😊

それでは、やっと今回の本題である「素因数分解」について説明していきたいと思います！

素因数分解とは？

言葉の通り、素数を因数として表すことです。

では、そもそも素数とは何でしょうか🤔

素数とは、1より大きい自然数のうち、正の約数が1とその数自身の2つだけである数のことです。

例えば、

2、3、5、7、11、13、17、19……

これらが素数です。

ここで注意してほしいのは、「1」は素数ではないということです。

また、2は唯一の偶数の素数でもあります。

それ以外の偶数は、必ず2で割り切れるので、2とその数自身以外にも約数があるんですね。

では、素因数分解に戻りましょう！

例えば、12をかけ算の形で表すと、

12＝3×4

と表せますね。

さらに、4は、

4＝2×2

と表せます。

したがって、

12＝2×2×3

つまり、

12＝2²×3

となります。

ここで登場した2と3は、どちらも素数ですね😊

このように、ある数を素数だけの積で表したとき、その積を構成する素数を「素因数」と言います。

つまり、12の素因数は2と3ということになります。

そして、ある2以上の自然数を素数だけの積で表すことを、

「素因数分解」

と言います。

※自然数とは、日常で1個、２個・・・、１番、2番・・・という風に数えられる1，2，3・・・のことです。小数点やマイナス数値、分数は含みません。

今回の例なら、

12＝2×2×3＝2²×3

これが12の素因数分解です😊

ちなみに、素因数分解では、同じ素数が何回登場しても構いません。

今回も2が2回登場していますね。

12＝2×2×3

このように同じ素数をまとめて、累乗を使って表すこともできます。

12＝２²×3

では、もう一つやってみましょう！

今度は45を素因数分解してみます。

45は、

45＝5×9

と表せますね。

そして、9は、

9＝3×3

です。

したがって、

45＝3×3×5

つまり、

45＝3²×5

となります。

これが45の素因数分解です😊

ここまでの説明で、素因数分解がどのようなものか、少し分かってきましたか😊

では、もうひとつやってみましょう。

今回は、60を素因数分解してみます！

まず、60を最小の素数である2で割ります。

60／2＝30

30も2で割れますね。

30／2＝15

ここで15は2では割り切れません。

そこで、次の素数である3で割ります。

15／3＝5

5は素数なので、ここで終了です。

これまでに使った素数と、最後に残った素数を並べると、

60＝2×2×3×5

となります。

さらに、累乗を使ってまとめると、

60＝2²×3×5

これが60の素因数分解です😊

ポイントは、最後に残った数も素数であることを確認し、忘れずに掛け算の式に入れることです。

また、割るときには2、3、5、7……というように、小さい素数から順番に試していくと、効率よく計算できます。

素因数分解は一意になる！

ここで面白い性質があります。

実は、2以上の整数の素因数分解は、素因数の順番を除けば一意に決まるんです。

例えば、60を別の順番で計算したとしても、最終的には、

60＝2×2×3×5

という結果になります。

順番を入れ替えて、

60＝3×2×5×2

と書いても、同じことですね😊

どのような方法で計算しても、素因数の順番を変えても同じ結果になるのです。

この性質は、数学では「算術の基本定理」と呼ばれる定理に関係しています。

ちょっと難しい言葉が出てきましたが、要するに、数を素数だけの積に分解すると、その組み合わせは一通りに決まるということですね👍

ここで素因数分解の問題を出したいと思います😊

良ければチャレンジしてみてくださいね。

◎ 90

◎ 665

◎ 2025

チクタク　チクタク

チクタク　チクタク

チーン！

解答です！

◎ 90

90を2で割ると45になります。

45は3で割ることができ、さらに15、5と分解できます。

90＝2×3×3×5

したがって、

90＝2×3²×5

となります。

◎ 665

665は、まず5で割ることができます。

665／5＝133

さらに、

7×19=133

となります。

7も19も素数なので、

5×7×19=665

これで終了です😊

◎ 2025

2025は、最初にどの素数で割るかが少し難しいですね🤔

図の（1）は、小さい素数から順番に試していく方法です。

でも、ちょっと面倒くさいですよね。

そこで、（2）のように、割りやすい素数から計算しても良いです。

2025は下二桁が25なので、まず5で割ると進めやすそうですね。

2025／5＝405

次の405も下一桁が5なので、5で割れます。

405／5＝81

ここまで来たら、小学生時代にやった九九を思い出すと良いかもしれないですね😊

81は3で割れます。

81／3＝27

再び3で割って、

27／3＝9

さらに3で割ると、

9／3＝3

最後に残った3も素数ですね。

したがって、

2025＝5×5×3×3×3×3

つまり、

2025＝3⁴×5²

となります。

これが2025の素因数分解です😊

最初に割る素数を見つけることも大切ですが、今回のように、割りやすい数から順番に計算していく方法もあります。

ちなみに、2025が3で割れるかどうかは、各位の数字を足して判断することもできます。

2＋0＋2＋5＝9

9は3で割り切れるので、2025も3で割り切れるんですね。

こうしたちょっとした計算のルールを知っていると、素因数分解も進めやすくなります😊

この話しをし出すと記事がまた増えそうなので、この件の説明は機会を見つけて記事にしたいと思いますので、今回はそんな方法があるのかと思っておいて下さいね(･_･)(._.)

皆さんは、素因数分解の問題ができましたか？

最後に、素因数分解は何に役立つの？

ここまで、因数、素数、素因数分解について説明してきました。

でも、こんな疑問を持った方もいるかもしれません。

「そもそも、素因数分解って何の役に立つの？🤔」

実は、素因数分解はいろいろな場面で使われています。

例えば、最大公約数や最小公倍数を求めるときにも役立ちます。

また、平方根の計算を簡単にするときにも使います。

例えば、

√12＝√（4×3）

＝2√3

となります。

このように、素因数分解を利用すると、平方根の計算も簡単にできることがあるんですね😊
と書きましたが日常で素因数分解して平方根を計算する人は少ないですね🤔

さらに、数学の中でも整数を研究する「整数論」という分野において、素因数分解はとても重要な考え方なんです。

そして、意外と身近なところでは、インターネットの暗号技術にも関係しています。

例えば、RSA暗号では、大きな素数を利用し、その積から元の素数を求めることの難しさが安全性の根拠の一つになっています。

ただし、インターネットで使われている暗号化のすべてが素因数分解を利用しているわけではありません。

中学校で習う素因数分解が、こんなところにもつながっていると思うと、ちょっと面白くないですか😊

長い記事にお付き合いいただきありがとうございます(._.)ｵｼﾞｷﾞ

今回は公式などをできるだけ使わず、なるべく簡単に説明してみました😅

でも、ちょっと難しい部分はあったかもしれないですね。

ごめんなさいね(･･)(..)

もし「ここが分からないぞ！」という部分があれば、コメントで教えてくださいね(._.)ｵｼﾞｷﾞ

私も、皆さんに分かりやすく説明できるように頑張ります😊

Special Thanks

donchan1962さん

たび.さん

先日投稿した「下書きが29本！皆さんはどの記事を読んでみたいですか？😊」の記事で、この記事を読んでみたいと言ってくださった「donchan1962さん」「たび.さん」、本当にありがとうございます(ﾟﾟ)(｡｡)ﾍﾟｺｯ

ちょっとでも「分かったよ！」と言ってもらえれば嬉しいです😊

ひかる