多項式とは何か #1

高校数学では，多項式は非常に重要かつ身近な存在です．

例えば，

$$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$$

のような式を考え，

• 展開する

• 因数分解する

• 割り算をする

• 方程式を解く

• 微分する

といった操作を行います．

また，

$$(x+1)(x-2)=x^2-x-2$$

のような計算も，ほとんど無意識に行っているでしょう．

しかし，ここで一度立ち止まってみましょう．

｢そもそも，多項式とは何なのでしょうか｣

高校数学では，多項式を｢文字と数を使った式｣として扱います．

一方，現代数学では，多項式を単なる｢式｣としてではなく，ある代数構造の元として捉えます．

その中心となるのが，

多項式環

です．

そして，多項式の因数分解という高校数学でおなじみの問題は，実は

• 環

• イデアル

• 素元

• 極大元

• ユークリッド整域

• 単項イデアル整域

• 一意分解整域

といった概念と深く結びついています．

この記事では，高校数学までで適当に導入された多項式について，環論の立場から，厳密に構築していきます．