子供が算数を好きになってくれそうな小ネタ3

数学博士ちゃんのお気に入りはお受験算数の定番

地域にもよるかと思いますが、私の地域では土曜夜7時から「博士ちゃん」

という番組をやってます。

その初期の頃に小学生ながら大学数学まで解いてしまうという天才博士ちゃんが出演したのですが、
(YouTubeでその子がニュースに出ている動画を見つけました)

その子に何で数学を好きになったのかを聞くと、おもむろに部分分数分解（通称キセル算）の式を書き出し、解いて見せて、「この次々と答えが消えて最後だけ計算すれば良いのが気持ち良い」と答えていました。

子供って裏技が好きですが、そういう裏技が天才少年を生むきっかけになっていたようです。

部分分数分解（キセル算）とは

数学博士ちゃんのお気に入りの部分分数分解（キセル算）とはどんな問題なのでしょうか？

それは、こんな問題です。

$\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} +  \frac{1}{5 × 6} + \frac{1}{6 × 7} + \frac{1}{7 × 8} + \frac{1}{8 × 9}$

…うん。
眩暈がする人も居そうですね。
それをこんな風に解いていきます。
この解き方（掛け算の分数 1 個を分数 2 個の引き算に分解して解く）から部分分数分解と呼ばれているそうで、お受験界隈では何故かキセル算と呼ばれています。

$\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} +  \frac{1}{5 × 6} + \frac{1}{6 × 7} + \frac{1}{7 × 8} + \frac{1}{8 × 9}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} +  \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
$= \frac{1}{2} \cancel{ - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \cancel{ - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \cancel{ - \frac{1}{5} +  \frac{1}{5}}  \cancel{ - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} \cancel{ - \frac{1}{7} + \frac{1}{7}}  \cancel{ - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}  - \frac{1}{9}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$
$= \frac{9}{18} - \frac{2}{18}$
$= \frac{7}{18}$

なぜ掛け算の分数が引き算の分数になるのか？

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ の形の引き算の通分を観察すると分かります。
むしろ、文字式のままの方が分かりやすいかも知れません。

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$= \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)}$ (通分)
$= \frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)}$
$= \frac{n + 1 - n}{n(n + 1)}$ (括弧を外す)
$= \frac{1}{n(n + 1)}$ (n より 1 大きい数から n を引いたので 1 だけが残る)

この様に 1 つ大きい数の分数の引き算は、通分の際にお互いの分母を分子と分母の両方に掛け合うので分母は「n × (n + 1)(分母同士の掛け算)」の形になり、分子は「n + 1 - n = 1 (n より 1 大きい数から n を引いたので 1 だけが残る)」という事で 1 のみが残ります。

ちなみに、上の問題の答えの下から2番目、

$= \frac{9}{18} - \frac{2}{18}$

の部分を見ると、

$= \frac{9}{18 = 2 × 9} - \frac{2}{18 = 2 × 9}$

という形になっているので、少なくとも連続した数の部分分数分解（キセル算）の場合、

$\frac{m - n}{nm}$

と、一気に答えを求められそうです。
これもただの偶然ではなく、$\frac{1}{n} - \frac{1}{m}$ の形の引き算の通分から来る必然です。

$\frac{1}{n} - \frac{1}{m}$
$= \frac{m}{nm} - \frac{n}{nm}$ (通分)
$= \frac{m - n}{nm}$

上の問題でいえば、

$\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} +  \frac{1}{5 × 6} + \frac{1}{6 × 7} + \frac{1}{7 × 8} + \frac{1}{8 × 9}$
$= \frac{9 - 2}{2 × 9}$
$= \frac{7}{18}$