偏差値の仕組みを解剖する：平均・分散・標準偏差から、ExcelとPythonでの計算まで図で解説

2026年10月26日 19:31

学校のテストや模試で、「偏差値60」という数字を見たことがある人は多いと思います。一方で、その60がどのように計算され、何を表しているのかは、意外と知られていません。

偏差値は、「点数−平均点」を「標準偏差」で割り、10を掛けて50を足した数です。つまり、偏差値を理解するには、平均と、ばらつきを表す「分散」と「標準偏差」を理解する必要があります。

NDシステムズは、この記事で、10人のクラスのテストを例に、平均・分散・標準偏差を一歩ずつ計算し、偏差値の仕組みを部品から組み立てます。最後に、同じ計算をExcelとPythonで行う方法も紹介します。式はnoteの本文では書けないため、Σ（シグマ）などを使った正確な式を、図の中に書きます。

偏差値の式を、部品に分ける

偏差値の式は、次の図のとおりです。自分の点数をx、クラスの平均点をμ（ミュー）、標準偏差をσ（シグマの小文字）と書きます。

部品は3つです。このうち、自分の点数と平均点は分かりやすいですが、標準偏差は、計算の手順を知らないと中身が見えません。以下では、標準偏差を求めるまでの手順を、1つずつ見ていきます。

例：10人のクラスのテスト

例として、10人のクラスで、100点満点のテストをしたとします。点数は、Aさんから順に、52、68、56、68、56、48、72、60、68、52点です。

平均点は、全員の点数を足して、人数で割ります。合計は600点なので、平均点は600÷10＝60点です。図の式のΣ（シグマの大文字）は、「全部足す」という意味の記号で、後の節で詳しく説明します。

平均との差（偏差）を求める

次に、一人ひとりについて、「点数−平均点」を求めます。これを「偏差」と呼びます。Aさんは52点なので52−60＝−8点、Bさんは68点なので＋8点です。

平均より上の人はプラス、下の人はマイナスになります。この差が大きい人が多いほど、点数はばらついています。そこで、10人分の差を、1つの数にまとめることを考えます。

差をそのまま足すと、0になる

素直に考えると、差を合計すればよさそうです。ところが、10人分の差を足すと、プラスの合計が＋36、マイナスの合計が−36で、ちょうど0になります。

これは偶然ではありません。平均は、プラスの差とマイナスの差がちょうど釣り合う位置にあるため、どのデータでも、平均との差の合計は必ず0になります。そのため、マイナスを消してから足す工夫が必要です。

2乗して、マイナスを消す

マイナスを消すために、差を2乗します。−8の2乗は64、＋8の2乗も64で、どちらもプラスになります。10人分の差の2乗は、64、64、16、64、16、144、144、0、64、64で、合計は640です。

2乗は、図にすると分かりやすくなります。差が8点の人は、一辺が8の正方形で面積が64、差が12点の人は、一辺が12の正方形で面積が144です。差の2乗の合計は、この正方形の面積を全部合わせたものです。

分散＝差の2乗の合計÷人数

分散は、差の2乗の合計を、データの個数（ここでは人数）で割ったものです。このクラスでは、640÷10＝64になります。つまり分散は、「差の2乗の平均」です。

割る数は、データの個数です。平均で割るのではありません。式の中の「n分の1」は、「n個で割る」ことを表しています。

記号Σとσの読み方

Σは、ギリシャ文字のシグマの大文字で、「下に書いた番号から、上に書いた番号まで、順に全部足す」という意味です。Σの下の「i＝1」は1番目から、上の「n」はn番目まで、を表し、iを1つずつ増やしながら、右側の式を足していきます。

大文字のΣは「全部足す」という計算の指示。小文字のσは標準偏差、σの2乗は分散を表す

同じシグマでも、小文字のσは別の意味で使われます。σは標準偏差を表す記号として使われ、分散は「σの2乗」と書かれます。大文字のΣは計算の指示、小文字のσは値の名前、と覚えると区別しやすくなります。

同じ点数の人が何人もいるときは「×人数」

このクラスには、同じ点数の人が何人かいます。68点は3人、52点と56点は2人ずつです。このようなときは、同じ点数をまとめて、「差の2乗×人数」で計算できます。

同じ点数をまとめると、差の2乗×人数の合計も640。割合を掛ければ分散が直接出る

48点は差の2乗が144で1人、52点は64で2人、56点は16で2人、60点は0で1人、68点は64で3人、72点は144で1人です。掛けて足すと、144＋128＋32＋0＋192＋144＝640で、一人ずつ足したときと同じになります。

人数の代わりに割合を使うこともできます。68点は10人のうち3人なので、割合は0.3です。差の2乗に割合を掛けて足すと、分散の64が直接出ます。

確率の分布の分散は、この割合を確率に置き換えて計算します。

なぜ2乗なのか：絶対値ではいけないのか

マイナスを消すだけなら、2乗でなく、絶対値（マイナスの符号を外した値）を使う方法もあります。差の絶対値は、8、8、4、8、4、12、12、0、8、8で、合計72を10人で割ると7.2点です。これは「平均絶対偏差」と呼ばれ、実際に使われている指標です。

絶対値の平均（平均絶対偏差）は7.2点。2乗の平均（分散）は64で、そのルートは8点

それでも、ばらつきの指標として、2乗する分散と標準偏差がよく使われます。主な理由は2つあります。

大きなずれを重く見る：差が2倍になると、2乗は4倍になる。大きく外れた点数があることを、数に強く表せる
式で扱いやすい：2乗は計算の規則が単純で、確率の分布の性質を導くときなどに扱いやすい

1つ目を、例で確かめます。4人とも差が4点のクラスと、差が8点の人が2人、残りの2人は差が0点のクラスを比べます。絶対値の合計はどちらも16ですが、2乗の合計は64と128で、大きく外れた人がいるクラスのほうが、分散は2倍になります。

絶対値の合計は同じ16でも、2乗の合計は64と128。大きなずれが重く数えられる

一方で、この性質は弱点にもなります。極端な点数が1つ入るだけで、分散や標準偏差は大きく動きます。

標準偏差＝分散の正の平方根

分散の64は、点数の差を2乗したものなので、単位は「点の2乗」です。点の2乗では、「平均からどのくらい離れているか」を直感的に読めません。

そこで、分散のルート（平方根）を取って、単位を「点」に戻します。これが標準偏差です。

このクラスの標準偏差は、ルート64で8点です。8の2乗も、−8の2乗も64ですが、ばらつきの大きさにマイナスはないため、プラスの方を取ります。そのため、標準偏差は「分散の正の平方根」と説明されます。

標準偏差は、点数が平均からおよそどのくらい離れているかの目安です。このクラスでは、平均60点から±8点の、52〜68点の人が10人のうち8人います。

なお、標準偏差の8点は、平均絶対偏差の7.2点より少し大きくなっています。2乗によって大きな差が重く数えられるためで、標準偏差は、平均絶対偏差と同じか、それより大きくなります。

偏差値の1段目：標準偏差いくつ分かを求める

ここから、偏差値を組み立てます。1段目は、「点数−平均点」を標準偏差で割ることです。これは、自分の点数が、平均から「標準偏差いくつ分」離れているかを表し、「標準得点」や「z得点」と呼ばれます。

72点は、平均60点から12点上。標準偏差8点で割ると1.5で、「標準偏差1.5個分」上にいる

72点のGさんは、平均より12点上です。標準偏差の8点で割ると、12÷8＝1.5で、標準偏差1.5個分、上にいることになります。48点のFさんは−1.5、60点のHさんは0です。

点数の差をそのまま比べず、標準偏差で割るのは、テストによって点数の散らばり方が違うためです。同じ12点上でも、点数が広く散らばるテストなら珍しくなく、点数がそろうテストなら大きな差です。標準偏差で割ると、散らばり方の違いをならして比べられます。

偏差値の2段目：10を掛けて、50を足す

2段目は、標準得点に10を掛けて、50を足すことです。Gさんの標準得点は1.5なので、1.5×10＋50＝65で、偏差値は65です。

10人の偏差値。平均点の60点は偏差値50、標準偏差1個分上の68点は偏差値60になる

10人の偏差値は、40、60、45、60、45、35、65、50、60、40です。平均点ちょうどの人は50、標準偏差1個分上の68点の人は60、1個分下の52点の人は40になります。

10を掛けて50を足すのは、標準得点のままでは、−1.5や0.5のように、マイナスや小数が多くなり、読みにくいためです。10を掛けて50を足すと、多くの人が、なじみのある数の範囲に収まります。

偏差値50と10の意味

偏差値の50と10には、はっきりした意味があります。10人の偏差値の平均を計算すると50、標準偏差を計算すると10になります。偏差値は、点数を「平均50、標準偏差10」にそろえ直した数です。

点数の目盛りと、偏差値の目盛りを並べると分かりやすくなります。点数の60点が偏差値50に、標準偏差1個分の8点が偏差値の10に対応します。どのテストでも、平均点は偏差値50に、標準偏差1個分は偏差値10に置き換わります。

偏差値60は、上位何％か

点数の分布が、真ん中が高く左右対称な山の形（正規分布）に近いときは、偏差値から、上位何％かの目安が分かります。正規分布では、平均±標準偏差1個分に約68％、2個分に約95％の人が入ります。

点数が正規分布に近いとき、偏差値60以上は上位約16％、70以上は上位約2.3％

偏差値60以上は上位約16％、65以上は約6.7％、70以上は約2.3％です。偏差値40以下は、下位約16％になります。

ただし、この割合は、点数の分布が正規分布に近い場合の目安です。10人のクラスのように人数が少ない場合や、易しすぎて満点近くに人が集まるテストでは、割合はずれます。このクラスでも、偏差値60以上は10人中4人で、16％とは違います。

点数が違うテストを、偏差値で比べる

偏差値の便利な点は、平均点や散らばり方が違うテストどうしを、同じ物差しで比べられることです。例えば、国語が72点、数学が80点だった人を考えます。点数だけを見ると、数学のほうがよくできたように見えます。

点数は数学が上でも、偏差値は国語が上。同じ72点でも、平均点の高い英語では偏差値約46になる

国語の平均点が60点、標準偏差が8点なら、72点の偏差値は65です。数学の平均点が70点、標準偏差が20点なら、80点の偏差値は55です。点数は数学のほうが高くても、クラスの中での位置は、国語のほうが上です。

同じ点数でも、テストが変われば偏差値は変わります。英語も72点だったとして、英語の平均点が75点、標準偏差が8点なら、偏差値は約46で、国語の65とは大きく違います。偏差値は「そのテストを受けた人たちの中での位置」なので、受ける人の層が違う模試どうしの偏差値も、そのまま比べられません。

偏差値が100を超えることもある

偏差値は、50を中心に、多くは25〜75の範囲に収まります。ただし、0から100の間に収まるとは決まっていません。点数の分布が極端に偏ると、100を超えることもあります。

100人のうち99人が0点、1人だけ100点のとき、100点の人の偏差値は約149.5になる

例えば、100人が受けたテストで、99人が0点、1人だけが100点だったとします。平均点は1点、標準偏差は約9.95点で、100点の人は平均より99点上、標準偏差の約9.95個分上になります。偏差値は約149.5で、0点の99人は約49です。

Excelで偏差値を出す

Excelで偏差値を出すときは、平均点をAVERAGE、標準偏差をSTDEV.Pで求めて、偏差値の式に当てはめます。B2〜B11に10人の点数が入っていて、Gさんの点数がB8にあるとき、式は次のとおりです。

=50+10*(B8-AVERAGE($B$2:$B$11))/STDEV.P($B$2:$B$11)

結果は65で、手で計算した値と一致します。範囲を「$」で固定しておけば、C列に式を入れて下へコピーするだけで、10人全員の偏差値が並びます。STDEV.Pは、指定した範囲の全員の点数から、人数で割る標準偏差を求める関数です。

Excelで偏差値を出す式。平均点はAVERAGE、標準偏差はSTDEV.Pで求める

Pythonで偏差値を出す

なぜ、数値計算にPythonを使うのか

Pythonは、文法が短く読みやすいプログラミング言語で、データ分析や機械学習の分野で広く使われています。数値計算でPythonが選ばれる大きな理由は、計算のための「ライブラリ」（よく使う機能をまとめた部品）が、無料でそろっていることです。

Python本体だけでも計算はできますが、大量の数を1つずつ処理すると時間がかかります。そこで数値計算では、NumPyというライブラリを使い、重い計算の部分を、あらかじめ変換済みのC言語のコードに任せます。書くのはPythonの短いコードのまま、計算はC言語に近い速さで進む、という組み合わせが、数値計算にPythonが使われる理由です。

NumPyとpandasは、Python本体に後から追加して使うライブラリです。NumPyが数値計算の土台になり、その上にpandas、さらにグラフを描くライブラリや機械学習のライブラリが積み重なっています。

Python本体の上に、数値計算の土台NumPy、その上に表データのpandasなどが積み重なる。重い計算は、NumPyの中のC言語のコードが担う

NumPyとpandasの役割の違い

NumPy（ナムパイ）とpandas（パンダス）は、どちらも数を計算できますが、得意なことと役割が違います。生成AIにコードを書いてもらうことが増えても、この違いを知っておくと、出てきたコードが目的に合っているかを確認できます。

NumPy：数値計算の土台：同じ種類の数を並べた「配列」を、まとめて速く計算する。平均・分散などの統計量、行列の計算、乱数など、数式をそのまま書く計算に向く
pandas：表データの道具：名前・日付・点数のように、種類の違う列が並ぶ「表」を扱う。CSVやExcelファイルの読み込み、並べ替え、絞り込み、グループごとの集計に向く

pandasは、NumPyの上に作られたライブラリです。そのため、「式どおりの計算はNumPy、データを読み込んで表として整える作業はpandas」と分けて考えると、整理しやすくなります。偏差値の例でいえば、10人の点数から式どおりに計算するだけならNumPy、名前と並べて表にしたり、ファイルから点数を読み込んだりするならpandasが向いています。

NumPyは数の並び（配列）をまとめて計算する土台、pandasは名前や点数が並ぶ表を扱う道具。pandasはNumPyの上に作られている

NumPyで、式どおりに計算する

NumPyを使うと、偏差値の式をほぼそのまま書けます。10人の点数を配列にして、平均点・分散・標準偏差・偏差値を順に求めるコードは、次のとおりです。

import numpy as np

scores = np.array([52, 68, 56, 68, 56, 48, 72, 60, 68, 52])

mean = scores.mean()   # 平均点
var = scores.var()     # 分散（人数で割る）
sd = scores.std()      # 標準偏差
hensachi = 50 + 10 * (scores - mean) / sd

print(mean, var, sd)
print(hensachi)

実行すると、次のように表示されます。

60.0 64.0 8.0
[40. 60. 45. 60. 45. 35. 65. 50. 60. 40.]

平均点60、分散64、標準偏差8、偏差値の並びも、ここまで手で計算した値と一致します。「scores − mean」と書くだけで、10人分の「点数−平均点」がまとめて計算されるので、Σの計算を1行で書けます。

NumPyのvarとstdは、何も指定しなければ、ここまでの計算と同じく人数で割ります。クラス全員の偏差値を出すときは、そのまま使えます。

pandasで、名前と偏差値を表にする

名前と点数を表で扱うときは、pandasを使います。ただし、pandasのstdは、何も指定しないと人数で割らない作りになっています。そこで、「ddof=0」と書いて、人数で割るように指定します。

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({
    "名前": list("ABCDEFGHIJ"),
    "点数": [52, 68, 56, 68, 56, 48, 72, 60, 68, 52],
})

m = df["点数"].mean()
sd = df["点数"].std(ddof=0)   # 人数で割る
df["偏差値"] = 50 + 10 * (df["点数"] - m) / sd

print(df.sort_values("偏差値", ascending=False).head(3))

実行すると、偏差値の高い順に3人が表示されます。

  名前  点数   偏差値
6  G  72  65.0
1  B  68  60.0
8  I  68  60.0

pandasで、名前・点数・偏差値の表を作る。stdにはddof=0を書いて、人数で割る

まとめ：偏差値を読むときの確認

偏差値は「50＋10×（点数−平均点）÷標準偏差」
分散は「差の2乗の合計÷個数」。平均で割るのではない
標準偏差は「分散の正の平方根」で、単位が点数と同じに戻る
偏差値は、点数を「平均50、標準偏差10」にそろえ直した数
「上位何％」の目安は、点数の分布が正規分布に近いときだけ
偏差値は、受けた集団の中での位置。集団が違えば比べられない
平均点ちょうどなら偏差値50、標準偏差1個分上なら偏差値60
ExcelはSTDEV.P、pandasはstd(ddof=0)で、人数で割る標準偏差を使う

偏差値は、平均点と標準偏差という2つの数を使って、点数を「平均50、標準偏差10」の物差しに置き換えたものです。その標準偏差は、平均との差を2乗して平均し、ルートを取って求めます。2乗とルートの意味を押さえておくと、偏差値に限らず、統計のさまざまな場面で出てくる式が読みやすくなります。

NDシステムズのサービスについて

NDシステムズは、月額制のホームページ制作を中心に、AI・DX支援や独自システム開発など、事業のデジタル化を支援しています。初回の無料相談（オンライン・30分）は、お問い合わせのフォームまたはメールで承ります。

参考資料

偏差値（Wikipedia）
Variance（Wikipedia）（英語）
Standard deviation（Wikipedia）（英語）
68–95–99.7 rule（Wikipedia）（英語）
Moments: Mean and Variance（ペンシルベニア州立大学 STAT 504）（英語）
STDEV.P function（Microsoft サポート）（英語）
What is NumPy?（NumPy ドキュメント）（英語）
numpy.var（NumPy ドキュメント）（英語）
Package overview（pandas ドキュメント）（英語）
pandas.Series.var（pandas ドキュメント）（英語）