パスカルの三角形の裏事情

　パスカルの三角形を書けば $(a+b)^n$ の展開式の各項の係数を簡単に求めることができる。たとえば、
　　　$(a+b)^n=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
という具合である。
　パスカルの三角形の書き方は、
　　　○　各段両端は 1 。
　　　○　上段の２数の和を、２数の真ん中下段に書く。
　　　○　これを繰り返す。
これだけである。上から n 段目の数が $(a+b)^n$ の展開式の各項の係数というわけである。

　さて、今日は「なぜそれでうまくいくのか」を考えよう。

１．パスカルの三角形の中の数は、元をただせば 「$(a+b)^n$ の展開式の $a^{n-r}b^r$ の係数 $_nC_r$ 」である。
　∵）　$(a+b)^n=(a+b)(a+b)…(a+b)$
　　　$n$ 個の $(a+b)$ から $a$ か $b$ のどちらかを取る。
　　　$n$ 個のうち $b$ をちょうど $r$ 個取る場合の数は $_nC_r$ 通り。
　　　これがそのまま $a^{n-r}b^r$ の係数 になる。
　すなわち、上右の $_○C_○$ の図が元々のパスカルの三角形である。

２．上右図の左端は一般化すると $_nC_0$ だが、$_nC_0=1$ である。
　※ 「$n$ 個の中から 0 個取る」場合の数は「何も取らない」という１通り。
　また、上右図の右端は一般化すると $_nC_n$ だが、$_nC_n=1$ である。
　※ 「$n$ 個の中から $n$ 個取る」場合の数は「全部取る」という１通り。
→ 以上から「パスカルの三角形の両端の数は 1 」であることが確認できた。

３．パスカルの三角形は左右対称である。式で表すと $_nC_r=\,_nC_{n-r}$ となる。
　※ 「40人のクラスで運動会の棒倒しに出場する38人を選ぶ」には「出場しない2人を選ん」でも同じこと。
　　すなわち $_{40}C_{38}=\,_{40}C_{2}$ 、一般に $_nC_r=\,_nC_{n-r}$ が成り立つ。

４．パスカルの三角形で「上段の２数の和を、２数の真ん中下段に書く」とした部分は、一般的には $_nC_r=\,_{n-1}C_{r-1}+\,_{n-1}C_r$ という式で書ける。
　※ 「40人のクラスで10人の掃除当番を選ぶ」場面を想定してみよう。
　　僕自身は選ばれたくないが、選ばれてしまうかもしれない。
　　僕自身が選ばれない（ラッキーな）場合は、僕以外の39人の中から10人選べば良いので $_{39}C_{10}$ 通り。
　　僕自身が選ばれる（アンラッキーな）場合は、僕以外の39人の中から9人選べば良いので $_{39}C_{9}$ 通り。その両方を合わせたものが総数 $_{40}C_{10}$ だ。
　すなわち $_{40}C_{10}=\,_{39}C_{9}+\,_{39}C_{10}$、一般に $_nC_r=\,_{n-1}C_{r-1}+\,_{n-1}C_r$ … ① が成り立つ。
　※　①について、一般的には $_nC_r=\dfrac{n\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;r\textit{!}}$ を使って、次のように証明できる。
　　$_{n-1}C_{r-1}+\:_{n-1}C_r=\dfrac{(n-1)\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;(r-1)\textit{!}}+\dfrac{(n-1)\textit{!}}{(n-r-1)\textit{!}\;r\textit{!}}$
　　　　　　　　$=\dfrac{r(n-1)\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;r\textit{!}}+\dfrac{(n-r)(n-1)\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;r\textit{!}}$　←┘通分
　　　　　　　　$=\dfrac{n(n-1)\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;r\textit{!}}$　　←┘分子を整理
　　　　　　　　$=\dfrac{n\textit{!}}{(n-r)\textit{!}\;r\textit{!}}=\:_nC_r$

以上から、先ほど書いた単純な操作の繰り返しで $(a+b)^n$ の展開式の各項の係数を書き出せることが示せた。
めでたし、めでたし。

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〜 順列と組合せとその周辺 〜　
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▷ パスカルの三角形の裏事情　　　　　　
▷ ３項定理とパスカルの四面体　　　　　
▷ 場合の数の数え方と確率の数え方の違い