黄金比は、ここにも関係している

〜本当に関係している話と、都市伝説だった話〜

黄金比。およそ1対1.618という比率で、「人間が一番美しく感じる比率」「自然界のあちこちに隠れている神秘の数」——そんなふうに紹介されることの多い数字です。

ひまわりの種、オウムガイの殻、パルテノン神殿、モナ・リザ、そして人間の体。——本当によく聞く話ですよね。

ところが、ちゃんと調べてみると、この「黄金比があちこちに関係している」という話は、半分は本当で、半分は都市伝説でした。しかも、本当のほうの話が、都市伝説よりずっと面白かったんです。今日はその仕分けをしてみます。

まず、黄金比って何者？

黄金比は、φ（ファイ）というギリシャ文字で表される数で、値は約1.618。「全体と大きい部分の比が、大きい部分と小さい部分の比と等しくなる」——そんな不思議なバランスの取り方をしたときに現れる数です。

この数にはもうひとつ面白い顔があります。あの有名なフィボナッチ数列（1、1、2、3、5、8、13…と前の2つを足していく数列）です。隣同士の比を計算していくと、数が大きくなるにつれてどんどん1.618…に近づいていくんです。

そして16世紀、この数に「神聖比例（divine proportion）」という大げさな名前をつけて本まで出した人がいます。数学者パチョーリで、挿絵を描いたのは友人のレオナルド・ダ・ヴィンチ。黄金比の「神秘的で美しい数」という評判は、だいたいここから始まりました。——評判が先に大きくなったことが、後の都市伝説の温床でもあります。

本当の話①：ひまわりの種は、黄金比で並んでいる

ひまわりの種の並びをよく見ると、右巻きと左巻き、2方向のらせんが見えます。本数を数えると、34本と55本、55本と89本のように、隣り合ったフィボナッチ数であることがとても多い。これは偶然ではなく、仕組みが分かっています。

鍵は「黄金角」と呼ばれる約137.5度という角度。種が1つできるたびに、前の種から137.5度ずらして次の種ができていく。すると、種同士が重ならず、すき間なく、びっしりと詰まるんです。

なぜこの角度なのか。円を黄金比で割ったときに生まれる角度が、ちょうど137.5度。黄金比は「分数で近似しにくい数」の代表格で、そのおかげで種が一直線に並んでしまうことが決して起きません。120度（3分の1周）みたいな「きれいな角度」だと種が放射状に並んで、すき間だらけになってしまう。0.1度ずらしただけでも並びが崩れることも、計算で確かめられています。

面白いのは1992年の実験です。磁石の性質を持つ液体の粒を、互いに反発させながら落とすと、粒が勝手にフィボナッチらせんに並びました。植物が「計算」しているわけではなく、「新しいものが古いものから一番離れた場所に収まる」という物理のルールを繰り返すと、黄金角が自然に生まれる、ということのようです。

ちなみに、イギリスで657個のひまわりを市民が育てて数えた調査では、約4分の3がフィボナッチ数に一致し、残りの多くも「惜しい」数字でした。全員ではないけれど、傾向ははっきりある。それが正直なところです。

本当の話②：正五角形の中には、正確に黄金比がある

これは自然の話ではなく、数学の話です。正五角形の対角線と一辺の比は、ぴったり黄金比になります。誤差なし、近似なし、本当にぴったり。

対角線を引くと星形（五芒星）ができて、真ん中には小さな正五角形が現れ、その中にもまた同じ構造が続きます。証明できる神秘。僕はこっちのほうがよほど神秘的だと思います。

都市伝説①：オウムガイの殻は、黄金比ではない

さて、ここからが仕分けの本番です。黄金比の話で一番よく使われる写真が、オウムガイの殻の断面。「この渦巻きが黄金比でできている」と、教科書や博物館のSNSでさえ紹介されてきました。

結論から言うと、これは間違いです。

オウムガイの殻が「対数らせん」という、大きくなっても形が変わらない見事な渦巻きなのは本当。でも実際に殻を測ると、広がり方は平均で約1.31〜1.33倍。黄金比の渦巻きなら約1.618のはずで、まったく届いていません。数学者ファルボが1999年に実測して指摘し、スミソニアンの殻80個を測った研究でも平均は約1.31でした。

「対数らせん」と「黄金比のらせん」は似て非なるもの。ゆるく重ねれば何にでも重なるのが渦巻きの怖いところで、「重なって見える」ことは証拠にならないんです。

都市伝説②：パルテノン神殿と「完璧な人体」

ギリシャのパルテノン神殿が黄金比で設計された、という話も有名です。でも、神殿の寸法は測る場所の選び方でどうとでも変わりますし、よくある「黄金長方形を重ねた写真」は、建物の一部が枠からはみ出しているのを無視しています。設計者が黄金比を知っていたという証拠もありません。数学者マルコウスキーが1992年の論文で否定した話です。

人間の体も同じです。「身長とへその高さの比が黄金比」という話は、へその位置自体がブレるので、1.6前後の数字はいくらでも「見つかって」しまいます。無数の長さの組から1.618に近いものだけ拾えば、キーボードのキーの配置にだって「黄金比」が見つかる——マルコウスキーの皮肉な指摘です。

「見つかる」ことと「意味がある」ことは、別なんですよね。

じゃあ、写真の構図は？——黄金比グリッドの正直な話

僕は写真を撮るので、最後にこの話を。カメラの世界には「黄金比グリッド」という構図ガイドがあって、画面を約61.8％と38.2％で割る線に被写体を置きます。有名な「三分割法」の線（33.3％）とは少しだけ位置が違います。

では「黄金比の構図は一番美しいのか？」——この実験、実は1876年から行われています。心理学者フェヒナーの調査では黄金比に近い長方形が好まれましたが、その後100年以上の追試では結果が出たり出なかったり。方法を変えると消える程度の弱い効果で、「黄金比が普遍的に一番美しい」は実験科学としては支持されていません。好きな比率は人によってバラバラ、個人差のほうが大きい、というのが現状の結論に近いです。

僕の結論はこうです。黄金比グリッドは「法則」ではなく「道具」。三分割法も同じで、使うと構図の判断が速くなる便利な物差しです。それで十分価値がある。神様の設計図だと思い込む必要はない、というだけの話です。

おわりに

黄金比を調べ直してみて、都市伝説が3つも剥がれました。でも、不思議なことに、この数の面白さは少しも減りませんでした。

だって、本当の話のほうがすごい。ひまわりの種は、分数で表しにくい角度のおかげで完璧な詰め込みを実現しているし、正五角形の中では誤差ゼロで黄金比が何度も現れる。宣伝文句の「神秘の数」より、よほど神秘的じゃないですか。

「ここにも関係している！」という発見は、とても楽しい。だからこそ、関係していないものまで関係していることにしない。それが、面白い話を長く楽しむコツなんだと思います。

次回は、ピアノの鍵盤に並んだフィボナッチ数の話を。白鍵8、黒鍵5、合計13。この並びは本当です。でも「だからピアノは美しい」のかは、また別の仕分けが必要です。

参考・出典
・Vogel, H. (1979) — ひまわりの種の並び（葉序）の数理モデル
・Douady, S. & Couder, Y. (1992) — 強磁性流体による葉序の自己組織化実験
・Turing Centenary Sunflower Survey（2012、市民参加調査）
・Falbo, C. (1999) — オウムガイの殻の実測
・Markowsky, G. (1992) "Misconceptions about the Golden Ratio"
・Wikipedia「Golden ratio」「Divina proportione」