エネルギー管理士の自動制御：伝達関数・定常偏差・PIDと比例帯

2026年10月21日 09:00

▶ 前回の記事はこちら：第6回「エネルギー管理士の伝熱：熱通過率・放射・対数平均温度差」

自動制御は、電気で受ける人にも熱で受ける人にも関係するテーマです。2026年4〜10月に X で受験者の投稿を約70件読むと、自動制御・ラプラス変換・数学でつまずいたという声が13人分あり、燃焼計算や熱の課目Ⅱと並んで目立ちました。体験記でも、令和8年度に電気分野で合格したlzxiuさんは「伝達関数，ラプラス変換は試験課目Ⅱの自動制御を解く上での必須知識」と書いています。一方で、自動制御を得点源にした人もいます。2024年度に電気で合格したひねりせんさんは「自動制御の最終値定理で気づきがあった」と書き、試験の最後の数分で問題を解き上げています。

つまずく人と得点源にする人の差は、数学の力そのものより、どこまで覚えれば足りるかを知っているか にあります。この試験で使うラプラス変換は、ほとんどが「微分は s を掛ける」の1行で済みます。

この連載「エネルギー管理士頻出テーマ」では、過去8年分（令和元〜8年度）の出題、受験者の体験記、X の受験者の声をもとに、よく出てつまずきやすいテーマを1回に1つずつ掘り下げます。第7回の今回は 自動制御 です。

私たちは資格の問題集アプリ「ナレッジバンドル」を作っていて、エネルギー管理士の500問（全4課目・熱／電気）すべてに解説を付けています。解説に出てくる伝達関数・比例帯・オフセットのような用語は、タップすると用語辞書が開きます。自動制御は記号と用語が一度に増えるテーマなので、この記事も用語の意味を押さえるところから始めます。

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熱でも電気でも、8年間毎年出ている

自動制御は、分野ごとに出る場所が違います（ECCJ 過去の試験問題から集計。問題文は転載していません）。

熱分野課目Ⅳ 問題12「計測及び制御」（必須・50点）: 制御方式の分類（カスケード・比率・フィードフォワードなど）が 8年で8回、PID 動作（比例帯・積分時間・微分時間・オフセット）が 8年で7回。ブロック線図・伝達関数は4回、限界感度法などの調整方法は3回です。令和元・4・5年度には比例帯などの数値を答える設問もありました
電気分野課目Ⅱ 問題5「自動制御及び情報処理」（必須・50点）: 前半の自動制御が 8年とも出ていて、小問は延べ15。中身は、フィードバック系の伝達関数が8年すべて、安定判別が6年、外乱・定常偏差（最終値の定理）が5年、一次遅れ・二次遅れの時間応答が4年です

熱は制御方式と PID の用語、電気は伝達関数の計算が中心で、重なるのは フィードバックの考え方・定常偏差・PID です。問題5 の後半にある情報処理（2の補数・ネットワークなど）は、この回では扱いません。

令和8年度に熱で合格した或る運転員の業務日誌の筆者も、ボイラやタービンは仕事と重なって解けた一方、課目Ⅳ の計測・制御は悩んだと振り返っています。

フィードバック制御の形と、ブロック線図の簡単化

フィードバック制御は、制御量（温度・圧力など）を測り、目標値との差（偏差）が小さくなるように操作量を動かす仕組みです。これをブロック線図で書くと、前向きの要素 G と、測った値を戻す帰還の要素 H の組み合わせになります。

ブロック線図の問題は、次の3つの形を見つけて、1つの箱にまとめていくだけで解けます。

直列結合: G1 × G2（かけ算）
並列結合: G1 ＋ G2（足し算。加え合わせ点の符号に注意）
フィードバック結合: G ÷（1 ＋ GH）。H＝1 の直結フィードバックなら G ÷（1 ＋ G）

フィードバック結合の分母 1 ＋ GH を 0 と置いた式が 特性方程式 で、後で安定判別に使います（鹿児島大学「制御工学」第11回）。

計算例1：ブロック線図をまとめる

G1＝2 と G2＝3 ÷（s＋1）が直列で、全体に H＝0.5 のフィードバックがかかっている系を考えます。

直列をまとめる: G＝2 × 3 ÷（s＋1）＝ 6 ÷（s＋1）
GH を出す: 6 ÷（s＋1）× 0.5 ＝ 3 ÷（s＋1）
フィードバックの式に入れる: 6 ÷（s＋1）÷｛1 ＋ 3 ÷（s＋1）｝。分子と分母に（s＋1）を掛けると 6 ÷（s＋4）

ラプラス変換は「微分＝s を掛ける」だけでよい

試験でラプラス変換を使うのは、主に微分方程式を伝達関数に直すときです。初期値が 0 なら、時間で1回微分することは s を1回掛けること、積分することは s で割ること と置き換えれば足ります。高さ1のステップ入力は 1 ÷ s です。

たとえば、入力 u と出力 y の関係が「T ×（y の微分）＋ y ＝ K × u」なら、微分を s に置き換えて（Ts ＋ 1）Y ＝ K U。伝達関数は K ÷（Ts ＋ 1） で、これが一次遅れです。

一次遅れ K ÷（Ts＋1）: K はゲイン（最終的に入力の何倍になるか）、T は時定数。時定数は「ステップ応答が最終変化量の63.2%に達するまでの時間」と定義されています（JIS Z 8116:1994 自動制御用語―一般）
二次遅れ ωn² ÷（s² ＋ 2ζωn s ＋ ωn²）: ωn は固有角周波数、ζ は減衰係数（減衰率とも呼ぶ）。ζ が大きいほど行き過ぎ（オーバーシュート）は小さくなります（東北大学システム制御工学A 資料9）

二次遅れの問題は、与えられた分母を標準形と 係数どうし比べる のが定番です。たとえば分母が s² ＋ 4s ＋ 16 なら、ωn² ＝ 16 から ωn ＝ 4、2ζωn ＝ 4 から ζ ＝ 4 ÷ 8 ＝ 0.5 です。√ が1回あれば電卓で解けます。

最終値の定理と定常偏差

最終値の定理 は、時間が十分たったときの値を、時間の式に戻さずに求める道具です。

出力の最終値＝ s → 0 のときの s × Y(s)
単位ステップ入力（R(s) ＝ 1 ÷ s）なら、s × G(s) × 1 ÷ s ＝ G(s) なので、伝達関数に s ＝ 0 を入れるだけ

計算例1の 6 ÷（s＋4）なら、s ＝ 0 を入れて最終値は 6 ÷ 4 ＝ 1.5 です。

直結フィードバックで、偏差 E(s) ＝ R(s) ÷（1 ＋ G(s)）です。単位ステップの目標値に対する定常偏差は 1 ÷（1 ＋ G(0)） になります（東北大学資料9）。ステップ入力に対する定常偏差を オフセット と呼びます（JIS Z 8116）。

注意点は1つです。最終値の定理は、系が安定なときにしか使えません。

計算例2：比例帯からオフセットまで

ゲイン3・時定数4秒の一次遅れ 3 ÷（4s＋1）を、比例帯50%の P 動作で直結フィードバック制御し、目標値を1だけ上げます。

比例ゲイン: Kp ＝ 100 ÷ 50 ＝ 2
一巡のゲイン: 2 × 3 ＝ 6。前向きの伝達関数は 6 ÷（4s＋1）
閉ループ伝達関数: 6 ÷（4s＋1＋6）＝ 6 ÷（4s＋7）
最終値: s ＝ 0 で 6 ÷ 7 ≒ 0.857
オフセット: 1 − 6 ÷ 7 ＝ 1 ÷ 7 ≒ 0.143
閉ループの極は 4s＋7＝0 から s ＝ −1.75。時定数は 4 ÷ 7 ≒ 0.571秒 で、元の4秒より速くなります

比例帯を25%に狭めると Kp ＝ 4、一巡のゲインは12で、オフセットは 1 ÷ 13 ≒ 0.077 に減ります。ただし 0 にはなりません。P 動作だけではオフセットが残る、というのはこの計算のことです。

安定判別：極の実部が負なら安定

閉ループ伝達関数の分母を 0 とおいた根（極）が、すべて実部が負（複素平面の左半分）なら安定です（東北大学資料6）。分子を 0 とおいた根は零点で、安定には関係しません。計算例2の極 s ＝ −1.75 は負なので安定です。

3次以上で根を直接求めにくいときは、ラウスの安定判別 を使います。

特性方程式の係数が全部そろっていて、全部同じ符号（ふつうは正）か確かめる。欠けていたり符号が混じっていたりしたら、その時点で不安定
係数からラウスの数表を作り、1列目の符号がすべて同じなら安定。符号が変わった回数が、実部が正の根の数

3次の特性方程式 a3s³ ＋ a2s² ＋ a1s ＋ a0 ＝ 0 なら、係数がすべて正で、a2 × a1 ＞ a3 × a0 が安定の条件になります（大阪大学制御工学I 第10回）。

計算例3：安定になるゲインの範囲

一巡伝達関数が K ÷（s＋2）³ の直結フィードバックでは、特性方程式は（s＋2）³ ＋ K ＝ 0、展開すると s³ ＋ 6s² ＋ 12s ＋ 8 ＋ K ＝ 0 です。

係数がすべて正: 8 ＋ K ＞ 0
a2 × a1 ＞ a3 × a0: 6 × 12 ＝ 72 ＞ 8 ＋ K から K ＜ 64

K を正の範囲で考えれば、0 ＜ K ＜ 64 で安定です。ゲインを上げると定常偏差は減りますが、上げすぎると不安定になります。

PID 動作と比例帯

熱の課目Ⅳ でほぼ毎年問われるのが PID 動作です。JIS Z 8116 は3つの動作を次のように定めています。

比例動作（P 動作）: 入力（偏差）に比例する大きさの出力を出す
積分動作（I 動作）: 入力の時間積分値に比例する大きさの出力を出す。偏差が残っている限り操作量を変え続けるので、オフセットを消せる
微分動作（D 動作）: 入力の時間微分値に比例する大きさの出力を出す。偏差の変化の速さに応じて先回りする

伝達関数で書くと、PID 制御は C(s) ＝ Kp ×｛1 ＋ 1 ÷（TI s）＋ TD s｝です。Kp は比例ゲイン、TI は積分時間、TD は微分時間です（京都大学加納学「プロセス制御工学 6. PID制御」）。

ここで取り違えやすいのが 比例帯 です。JIS Z 8116 は比例帯を、比例動作で出力を0〜100%変化させるのに要する入力の変化幅（%）と定め、備考で「無次元化した比例ゲインの逆数 (%) に相当する」としています。式にすると 比例帯 PB［%］＝ 100 ÷ Kp です。

比例帯を 小さく すると、比例ゲインは 大きく なる（P 動作が強くなる）
積分時間は「比例動作に対する積分動作の弱さを表すパラメータ」（JIS Z 8116）。積分時間を短くすると I 動作は強くなる
微分時間は長いほど D 動作が強い

次の図は、同じ制御対象を P・PI・PID で動かしたときの応答を python で計算したものです。

P 動作だけでは目標値の1に届かず、約0.33のオフセットが残ります。I 動作を足すと最後は1に届きますが、行き過ぎが大きく、揺れが長く続きます。D 動作を足すと行き過ぎが小さくなり、早く落ち着きます。知識問題で問われるのは、この役割分担です。

熱の課目Ⅳ では、限界感度法 などの調整方法も8年に3回出ています。P 動作だけでゲインを上げ、一定の振幅で振動し続けるときのゲインと周期から PID の値を決める方法です（京都大学の同資料）。

カスケード・フィードフォワード・比率制御

熱の課目Ⅳ 問題12 で8年間毎年出ているのが、制御方式の区別です。JIS Z 8116 の定義と、ボイラ・加熱器での使われ方をまとめます。

カスケード制御: 「一つの制御装置の出力信号によって他の制御系の目標値を決定する制御。」。温度の調節計（主）の出力が、蒸気流量の調節計（副）の目標値になります。内側の流量のループで、蒸気流量の乱れを先に整えます
フィードフォワード制御: 「目標値，外乱などの情報に基づいて，操作量を決定する制御。」。外乱を先に測って操作量を変えるので、偏差が出てから動くフィードバックより先に手を打てます
比率制御: 「二つ以上の量の間に，ある比例関係を保たせる制御。」。燃焼炉で燃料流量に合わせて空気流量を一定の比率で動かし、空気比を保つのが代表例です

取り違えやすい点

比例帯とゲインは逆数の関係。比例帯 200% は Kp ＝ 0.5。積分時間も短いほど I 動作が強い
極は分母＝0 の根。分子＝0 の根（零点）と取り違えない
最終値の定理は安定な系にだけ使う。先に安定かどうかを確かめる
開ループと閉ループを取り違えない。定常偏差の 1 ÷（1 ＋ G(0)）の G は前向き（一巡）の伝達関数、最終値を出すのは閉ループ伝達関数
カスケードとフィードフォワードの区別。調節計が2段につながっていればカスケード、外乱を測って先に動かすならフィードフォワード

確認問題

この記事のために作った問題で、過去問の転載ではありません。

問1

比例帯を40%に設定した P 動作の調節計の比例ゲイン Kp はいくらか。

問2

前向きの伝達関数が 8 ÷（2s＋1）、帰還の伝達関数が 0.5 のフィードバック系に、単位ステップの入力を加えた。出力の最終値はいくらか。

0.89
1.6
2.0
8.0

問3

特性方程式が s³ ＋ 3s² ＋ 6s ＋ K ＝ 0 の制御系が安定となる K の範囲として正しいものはどれか（K は正とする）。

0 ＜ K ＜ 2
0 ＜ K ＜ 6
0 ＜ K ＜ 18
0 ＜ K ＜ 54

答えと解説

問1の答え: 2（2.5）。Kp ＝ 100 ÷ 40 ＝ 2.5。比例帯が小さいほどゲインは大きくなります。0.4 は 40% をそのまま小数にした値で、逆数を取り忘れています
問2の答え: 2（1.6）。閉ループ伝達関数は 8 ÷（2s＋1）÷｛1 ＋ 4 ÷（2s＋1）｝＝ 8 ÷（2s＋5）。極は s ＝ −2.5 で安定なので最終値の定理が使え、s ＝ 0 を入れて 8 ÷ 5 ＝ 1.6。0.89 は帰還を 1 とした値、2.0 は 1 ÷ H だけの値です
問3の答え: 3（0 ＜ K ＜ 18）。3次の安定条件は、係数がすべて正で a2 × a1 ＞ a3 × a0。3 × 6 ＝ 18 ＞ 1 × K から K ＜ 18。K ＝ 18 ちょうどでは、振動が減りも増えもしない安定限界になります

まとめ

自動制御は、熱の課目Ⅳ 問題12（制御方式 8/8・PID 7/8）と電気の課目Ⅱ 問題5（8年／小問15）の両方に出る
ブロック線図は直列（かけ算）・並列（足し算）・フィードバック G ÷（1 ＋ GH）の3つでまとめる
ラプラス変換は「微分＝s を掛ける、積分＝s で割る、ステップ＝1 ÷ s」で足りる
一次遅れ K ÷（Ts＋1）の T は63.2%に達する時間。二次遅れは標準形と係数を比べて ωn・ζ を出す
最終値は s → 0 で求める（安定なときだけ）。P 動作の定常偏差は 1 ÷（1 ＋ G(0)）
安定は極の実部がすべて負。3次なら係数がすべて正で a2 × a1 ＞ a3 × a0
比例帯 PB ＝ 100 ÷ Kp。比例帯が小さいほどゲインは大きい。P だけではオフセットが残り、I 動作で消える
カスケード（目標値を渡す）・フィードフォワード（外乱を先に測る）・比率（燃料と空気の比を保つ）を区別する

次回の試験は2027年8月1日（日）に実施される予定です。申込期間はまだ発表されていません。

第8回は「変圧器と誘導電動機」です。電気の課目Ⅲ で毎年出る、変圧器の最高効率の条件と、誘導電動機の滑り・二次入力の分け方を計算例で整理します。

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※この記事は2026年10月15日時点の公開情報をもとにしています。試験の制度や日程は変わることがあるので、受験前に必ず省エネルギーセンターの公式サイト（https://www.eccj.or.jp/mgr1/ ）で確認してください。過去問の出題テーマは同センターが公開している試験問題から集計したもので、問題文は転載していません。体験記の引用は各記事の原文から行い、リンク先に出典を明記しています。制御用語の定義は JIS Z 8116:1994 によります。計算例と確認問題の数値は、この記事のために作ったものです。