電球の影の問題で手が止まる子へ｜影の面積は「拡大率」1つで解ける【中学受験・入試によく出る3パターン】

前回、影の問題を「光の線を1本引く」という3つのルールで解説しました。影の問題の中でも、とくに手が止まりやすいのが「面積」です。そこで今回は電球（点光源）の影の面積だけに絞って書きます。

入試でよく出る形は、ほぼ次の3パターンです。

1. 電球の真下に立方体や直方体がある（いちばんの定番）
2. 床と平行な板がうかんでいる・電球の位置がずれている
3. 電球を動かす・立方体を積み重ねる（応用）

そして、3つとも使う道具はたった1つです。

使うのは「拡大率」1つだけ

電球の光は1点から広がります。だから、床と平行な面（立方体の上の面や板）は、床に落ちると同じ形のまま大きくなります。どれだけ大きくなるかは、次の式で決まります。

拡大率 ＝（電球から床までの高さ）÷（電球から面までの高さ）

長さが拡大率の分だけ大きくなるので、面積は「拡大率×拡大率」倍です。たとえば拡大率が1.5なら、面積は 1.5×1.5＝2.25倍。ここまで覚えれば、あとは当てはめるだけです。

パターン1　電球の真下に立方体・直方体

例題：1辺4cmの立方体が床に置いてあります。上の面の真ん中の真上、床から12cmの高さに電球があります。床にできる影の面積は何cm²ですか（立方体の真下はのぞく）。

電球から上の面までは 12－4＝8cm、電球から床までは12cm。拡大率は 12÷8＝1.5 です。影は上の面（1辺4cm）を1.5倍に広げた正方形なので、1辺 4×1.5＝6cm、面積 6×6＝36cm²。ここから立方体の真下 4×4＝16cm² をのぞいて、20cm² です。

よくあるつまずきは2つです。1つは「真下の部分をのぞく」を忘れること。もう1つは、拡大率を「12÷4（立方体の高さ）」と計算してしまうことです。割るのは電球から面までの距離だと、図に書きこんでから計算させてください。

直方体でも同じです。たて4cm・横2cm・高さ3cm、電球が床から9cmなら、拡大率は 9÷6＝1.5。影は 6cm×3cm＝18cm² の長方形で、真下8cm²をのぞいて10cm²。たてと横をそれぞれ1.5倍にするだけです。

パターン2　うかんだ板・電球の位置がずれる

例題：1辺2cmの正方形の板が、床と平行に、床から3cmの高さにうかんでいます。床から9cmの高さに電球があります。床にできる板の影の面積は何cm²ですか。

電球から板までは 9－3＝6cm、床までは9cm なので、拡大率は 9÷6＝1.5。影は1辺 2×1.5＝3cm の正方形で、9cm² です。板の下には何もないので、のぞく部分はありません。

ここで大事な事実があります。電球が板の真上から横にずれても、影の面積は9cm²のままです。床と平行な面は、電球がどこにあっても「同じ形のまま、同じ拡大率で」床に写るからです。変わるのは影の位置だけ。「電球がななめ上にある」と書かれていても、あわてずに高さだけ見れば大丈夫です。

パターン3　電球を動かす・立方体を積み重ねる

電球を動かす：1辺2cmの立方体で、電球を床から6cmにすると、拡大率 6÷4＝1.5、影は 3×3－4＝5cm²。電球を4cmまで下げると、拡大率 4÷2＝2、影は 4×4－4＝12cm²。電球を下げるほど、影は大きくなります。

積み重ねる：1辺2cmの立方体を2段に積み（高さ4cm）、電球を床から8cmにします。電球から一番上の面までは 8－4＝4cm なので、拡大率 8÷4＝2。影は1辺4cmの正方形で16cm²、真下4cm²をのぞいて12cm²です。

応用問題も、やることは同じです。「影を作っているのはどの面か（いちばん上の面）」を見つけて、その面までの距離で拡大率を出す。この順番だけ守れば、問題の見た目が変わっても解けます。

家で5分、確かめてみる

机の上に箱を置いて、真上からスマホのライトを当ててみてください。ライトを下げると影が大きくなり、ライトを横にずらすと箱の上の面の影は形を変えずに動きます。式で覚えるより先に、目で見ておくと忘れにくくなります。

まとめ

・拡大率＝（電球から床まで）÷（電球から面まで）
・面積は 拡大率×拡大率 倍
・立方体のときは「真下をのぞく」
・電球が横にずれても、床と平行な面の影の面積は変わらない
・積み重ねたら「いちばん上の面」で考える

影の長さの基本ルールと、面積の問題をふくむ練習問題20問（解答・解説つきPDF）は、こちらの記事にまとめています。

このnoteについて
高校数学教師・元塾講師・元外資系コンサルの父が、家ですぐ使える算数の声かけ・プリント・家庭学習の工夫を発信しています。フォローすると、新しい記事が届きます。はじめての方は、こちらの自己紹介からどうぞ。