影の問題が苦手な子へ｜「光の線を1本引けば」解ける、中学受験の相似3つのルール【小5・小6】

「木の影が壁にかかっている」「街灯の下を人が歩いていく」。中学受験の算数に出てくる影の問題は、図がごちゃごちゃして見えるので、苦手な子がとても多い単元です。

でも実は、影の問題で使うのは、たった3つのルールだけ。そしてどのルールも、光の線を1本引くところから始まります。

こんにちは。高校で数学を教えながら、小5の娘の中学受験に伴走している「数学教師パパ」です。前回の「立方体の切断」に続いて、今回は影の問題を、なぜそうなるのかから整理します。

まずは、このクイズから

晴れた日の午後、長さ1mの棒を地面にまっすぐ立てたら、影の長さは1.5mでした。同じ時刻に、校庭の木の影をはかったら6mでした。木の高さは何mでしょう？

木に登らなくても、メジャーで影をはかるだけで高さが分かる。これが影の問題のいちばんおもしろいところです。古代ギリシャのターレスは、この考え方でピラミッドの高さをはかったと言われています。

ルール1：太陽の光は平行

太陽はとても遠くにあるので、地上に届く光は、すべて平行な線と考えてかまいません。

光が平行なら、「立っている物」「影」「光の線」でできる三角形は、どれも同じ形になります。つまり、同じ時刻なら「高さ：影の長さ」はどれも同じです。

クイズでは、棒は「高さ1m：影1.5m」。木の影は6mで、1.5mの4倍です。だから木の高さも1mの4倍で、答えは4mです。

ルール2：壁にかかった影は、高さに足す

入試でよく出るのが、木の影の先が壁にかかっている問題です。

1mの棒の影が1.5mの時刻に、木の影が地面に4.5m、その先の壁に1.2mの高さまでかかっていました。木の高さは何mでしょう。

ここでやりがちなのが、「4.5＋1.2＝5.7mが影の長さ」と足してしまう間違いです。壁の影は上に向かってのびているので、地面の影と同じには扱えません。

解き方のコツは、壁の影のてっぺんの高さで、横に線を1本引くことです。

その線より上の部分だけを見れば、ふつうの影の問題になります。地面の影4.5mに対応する高さは、4.5÷1.5＝3m。線より下の部分は、壁の影と同じ1.2mです。だから木の高さは、3＋1.2＝4.2mです。

「壁の影は、そのまま高さに足す」と覚えておけば迷いません。（壁が地面にまっすぐ立っているときの話です。）

ルール3：街灯の光は1点から広がる

太陽とちがって、街灯はすぐ近くにあるので、光は平行ではありません。電球の1点から、放射状に広がります。

高さ4.8mの街灯から6mはなれたところに、身長1.6mの人が立っています。影の長さは何mでしょう。

街灯のてっぺんから、人の頭を通って地面まで、光の線を1本引きます。すると、街灯と光の線でできる大きい三角形と、人と影と光の線でできる小さい三角形ができます。2つは同じ形で、大きさだけがちがう三角形です。

高さの比は、1.6：4.8＝1：3。だから底辺の比も、影：（6＋影）＝1：3です。

「6＋影」を3目もりとすると、影は1目もり。残りの2目もりが6mなので、1目もりは3m。影の長さは3mです。

もう1つのびっくり：はなれるほど、影は伸びる

この人が、街灯からさらにはなれていくと、影はどうなるでしょう。

比はいつも1：3なので、影の長さは、いつも「街灯からのきょりの半分」になります。6mはなれれば影は3m、10mはなれれば影は5m。1m歩くごとに、影は0.5mずつ伸びていきます。

夜道で、自分の影がぐんぐん伸びていくのはこのためです。そして、人が1m進むあいだに影の先は1.5m進むので、「影の先は、人の1.5倍の速さで動く」ことになります。入試でよく出る「影の先の速さ」の問題は、ここにつながっています。

応用：影の「面積」も、同じ考え方で解ける

入試では、影の「長さ」だけでなく、影の「面積」を聞く問題もよく出ます。とくに多いのが、電球の真下に立方体を置く問題です。

1辺3cmの立方体の、上の面の真ん中の真上、床から9cmの高さに電球があります。床にできる影の面積は何cm²でしょう。ただし、立方体の真下の部分はのぞきます。

電球から立方体の上の面までは 9－3＝6cm、電球から床までは9cm。ルール3と同じように光の線を引くと、床の影は、上の面を 9÷6＝1.5倍 に広げた正方形になることがわかります。

影の正方形の1辺は 3×1.5＝4.5cm なので、面積は 4.5×4.5＝20.25cm²。ここから立方体の真下の 3×3＝9cm² をのぞいて、答えは 11.25cm² です。

ここでのポイントは、長さが1.5倍なら、面積は1.5×1.5＝2.25倍になることです。上の面の9cm²を2.25倍しても、9×2.25＝20.25cm² と求められます。そして、「真下の部分をのぞく」のかどうかは、問題文で必ず確認しましょう。ここでのうっかりミスがとても多いのです。

電球（点光源）の影の面積は、入試によく出る3パターンを別の記事で詳しく解説しています。

3つのルールのまとめ

ルール1：太陽の光は平行。同じ時刻なら「高さ：影の長さ」はどれも同じ。

ルール2：壁にかかった影は、高さに足す。壁の影の高さで、横に線を1本引く。

ルール3：街灯の光は1点から広がる。光の線を1本引いて、大小2つの三角形を見つける。

面積：長さが□倍なら、面積は□×□倍。電球の影は、上の面を広げた形になる。

どのルールも、最初にやることは同じです。光の線を1本引くこと。線を引いた瞬間に、図の中に同じ形の三角形が見えてきます。

家でできる「影の実験」

影の問題も、立方体の切断と同じで、実際に見ると一気に分かるようになります。

晴れた日に、30cmのものさしを地面にまっすぐ立てて、影の長さをはかってみてください。同じ時刻に家族の影の長さもはかって、身長を計算してみましょう。本当の身長とくらべると、子どもはびっくりします。

夜は、懐中電灯を机の上に置いて、消しゴムやペットボトルの影を作ってみてください。ライトから遠ざけるほど影が伸びていく様子が見られます。これがルール3です。

練習問題20問（解答・くわしい解説つき）

この記事の3つのルールと、影の面積を使って解ける練習問題を20問、PDFにまとめました。「基本」8問、「標準」6問、「影の面積」6問の3段階です。答えと、くわしい解説もついています。

印刷しても、iPadのノートアプリに取り込んでも使えます。つまずいたときは、答えを教える前に「光の線はどこを通る？」と聞いてみてください。

おわりに

影の問題は、図がむずかしそうに見えるだけで、やっていることは「光の線を1本引いて、同じ形の三角形を見つける」ことだけです。この考え方は、中学で習う相似、高校で習う三角比へと、そのままつながっていきます。

まずは今度の晴れた日に、お子さんと一緒に自分の影をはかってみてください。「影から身長が分かるんだよ」と言うと、きっと目が輝きます。

立方体の切断の記事もどうぞ。

このnoteについて
高校数学教師・元塾講師・元外資系コンサルの父が、家ですぐ使える算数の声かけ・プリント・家庭学習の工夫を発信しています。フォローすると、新しい記事が届きます。はじめての方は、こちらの自己紹介からどうぞ。

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