データ分析：公式集

〈定義〉
○　平均　　　$\overline{\, x \,} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
○　分散　　　$S_x^{\; 2} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})^2 + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})^2}{n}$
○　標準偏差　$S_x = \sqrt{S_x^{\; 2} \, }$
○　共分散　　$S_{xy} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})(y_1 - \overline{\, y \,}) + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})(y_n - \overline{\, y \,})}{n}$
○　相関係数　$r = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y}$

〈定理〉
○　分散　　$S_x^{\; 2} = \overline{\, x^2 \,} - \overline{\, x \,}^2$　　　　　　… ①
○　共分散　$S_{xy} = \overline{\, xy \,} - \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,}$　　　　  … ②

〈変換〉
○　$x = cu + x_0$　　で変換すると　　$\overline{\, x \,} = c \overline{\, u \,} + x_0$　  … ③
　　（ $\Leftrightarrow \quad u = \dfrac{x - x_0}{c}$ ） 　　　　　　$S_x = | c | S_u$　　　… ④
○　$x = cu + x_0$　　で変換すると　　$S_{xy} = cd \, S_{uv}$　　 … ⑤
　　$y = dv + y_0$　　　　　　　$r_{xy} = r_{uv}$　または　$r_{xy} = - r_{uv}$　… ⑥

◇　　　　　　◇　　　　　　◇

①　$S_x^{\; 2} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})^2 + (x_2 - \overline{\, x \,})^2 + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})^2}{n}$
　　　　　　　　　　　↓　$(x_1 - \overline{\, x \,})^2 = x_1^{\; 2} - 2 x_1  \overline{\, x \,} + \overline{\, x \,}^2$
　　　$= \dfrac{(x_1^{\; 2} +x_2^{\; 2} + \cdots + x_n^{\; 2}) - 2(x_1 + x_2 + \cdots + x_n ) \overline{\, x \,} + n \overline{\, x \,}^2 }{n}$
　　　$= \dfrac{x_1^{\; 2} +x_2^{\; 2} + \cdots + x_n^{\; 2} }{n} - 2 \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, x \,} + \overline{\, x \,}^2$
　　　$= \overline{\, x^2 \,} - \overline{\, x \,}^2$

②　$S_{xy} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})(y_1 - \overline{\, y \,}) + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})(y_n - \overline{\, y \,})}{n}$
　　　　　　　　　↓　$(x_1 - \overline{\, x \,})(y_1 - \overline{\, y \,}) = x_1 y_1 - x_1  \overline{\, y \,} - y_1  \overline{\, x \,}+ \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,}$
　　　$= \dfrac{(x_1 y_1 + \cdots ) - (x_1 + \cdots ) \overline{\, y \,} - (y_1 + \cdots ) \overline{\, x \,} + n \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,} }{n}$
　　　$= \dfrac{x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n }{n} - \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,} - \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,} + \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,}$
　　　$= \overline{\, xy \,} - \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,}$

③　$\overline{\, x \,} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
　　　　　　　　　　　↓　$x_i = cu_i + x_0$　で変換
　　　$= \dfrac{(c u_1 + x_0) + (c u_2 + x_0) + \cdots + (c u_n + x_0)}{n}$
　　　$= c \, \dfrac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n }{n} + \dfrac{n x_0 }{n}$
　　　$= c \overline{\, u \,} + x_0$

④　$S_x^{\; 2} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})^2 + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})^2}{n}$
　　　　　　　　　　　↓　② より　$\overline{\, x \,} = c \overline{\, u \,} + x_0$
　　　$= \dfrac{\{ (c u_1 + x_0 ) - (c \overline{\, u \,} + x_0 ) \}^2 + \cdots + \{ (c u_n + x_0 ) - (c \overline{\, u \,} + x_0 ) \}^2 }{n}$
　　　$= c^2 \, \dfrac{(u_1 - \overline{\, u \,})^2 + \cdots + (u_n - \overline{\, u \,})^2}{n}$
　　　$= c^2 \, S_u^{\; 2}$　より
　　$S_x = | c | S_u$

⑤　$(x_i - \overline{\, x \,})(y_i - \overline{\, y \,})$
　　　　　　　↓　$y_i = dv_i + y_0$　で変換すると　$\overline{\, y \,} = d \overline{\, v \,} + y_0$
　　　$= \{ (c u_i + x_0)-(c \overline{\, u \,} + x_0) \} \{ (d v_i + y_0)-(d \overline{\, v \,} + y_0) \}$
　　　$= cd \, (u_i - \overline{\, u \,}) \, (v_i - \overline{\, v \,})$　より
　　$S_{xy} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,}) (y_1 - \overline{\, y \,}) + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,}) (y_n - \overline{\, y \,}) }{n}$
　　　$= cd \, \dfrac{(u_1 - \overline{\, u \,}) (v_1 - \overline{\, v \,}) + \cdots + (u_n - \overline{\, u \,}) (v_n - \overline{\, v \,}) }{n}$
　　　$= cd \, S_{uv}$

　　　　　　┌　⑤ → ┐
⑥　$r_{xy} = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y}$ $= \dfrac{cd \, S_{uv}}{| c | S_u \, | d | S_v}$ $= \dfrac{cd}{| cd |} \, \dfrac{S_{uv}}{S_u S_v}$ $= \dfrac{cd}{| cd |} \, r_{uv}$
　　　　　　└　④ → ┘
　　　つまり　　$c \, , \, d$が同符号のとき　$r_{xy} = r_{uv}$
　　　　　　　　$c \, , \, d$が異符号のとき　$r_{xy} = - r_{uv}$

　具体例は こちら をどうぞ。

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