相関係数を求めてみよう

2026年8月10日 07:37

相関係数を求めてみよう

(1)　　　　数学　英語
　　A　　　70　　 63
　　B　　　70　　 63
　　C　　　60　　 59
　　D　　　60　　 63
　　E　　　55　　 63

(2)　　　　身長　体重
　　A　　171.5　　62
　　B　　170.0　　65
　　C　　170.0　　59
　　D　　170.0　　59
　　E　　169.0　　59

相関係数の定義だけを使うなら

〈定義〉
○　平均　　　 $\overline{\, x \,} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
○　分散　　　 $S_x^{\; 2} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})^2 + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})^2}{n}$
○　標準偏差　 $S_x = \sqrt{S_x^{\; 2} \, }$
○　共分散　　 $S_{xy} = \dfrac{(x_1 - \overline{\, x \,})(y_1 - \overline{\, y \,}) + \cdots + (x_n - \overline{\, x \,})(y_n - \overline{\, y \,})}{n}$
○　相関係数　 $r = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y}$

(1)　　　数学　英語　　　　偏差　　　偏差２乗　　　偏差積
　　　　　x　　 y　　　　x　　 y　　　x²　　y²　　　 xy
　　A　　70　　63　　　 $7$ 　 $0.8$ 　　 $49$ 　 $0.64$ 　　 $5.6$
　　B　　70　　63　　　 $7$ 　 $0.8$ 　　 $49$ 　 $0.64$ 　　 $5.6$
　　C　　60　　59　　 $-3$ $-3.2$ 　　 $9$ 　 $10.24$ 　　 $9.6$
　　D　　60　　63　　 $-3$ 　 $0.8$ 　　 $9$ 　 $0.64$ 　　 $-2.4$
　　E　　55　　63　　 $-8$ 　 $0.8$ 　　 $64$ 　 $0.64$ 　　 $-6.4$
　合計　 $315$ 　 $311$ 　　／　／　　 $180$ 　 $12.8$ 　　 $12$
　平均　 $63$ 　 $62.2$ 　　／　／　　 $36$ 　 $2.56$ 　　 $2.4$
　　　　　　　　　　　　　　　　　↙︎　　　↓　　　↘︎
　　　　　　　　　　　　　 ${S_x}^2 = 36$ 　 ${S_y}^2 = 2.56$ 　 $S_{xy} = 2.4$
　　　　　　　　　　　　　　 $S_x = 6$ 　 $S_y = 1.6$ 　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　↘︎　　　↓　　　↙︎
　　　　　　　　　　　　　 $r_{xy} = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y} =\dfrac{2.4}{6 \times 1.6} = \dfrac{1}{4} = 0.25$

(2)　　　　身長　　体重　　　　偏差　　　偏差２乗　　　偏差積
　　　　　　x　　　 y　　　　x　　 y　　　x²　　y²　　　 xy
　　A　　171.5　　62　　　 $1.4$ 　 $1.2$ 　 $1.96$ 　 $1.44$ 　　 $1.68$
　　B　　170.0　　65　　 $-0.1$ 　 $4.2$ 　 $0.01$ 　 $17.64$ 　 $-0.42$
　　C　　170.0　　59　　 $-0.1$ $-1.8$ 　 $0.01$ 　 $3.24$ 　　 $0.18$
　　D　　170.0　　59　　 $-0.1$ $-1.8$ 　 $0.01$ 　 $3.24$ 　　 $0.18$
　　E　　169.0　　59　　 $-1.1$ $-1.8$ 　 $1.21$ 　 $3.24$ 　　 $1.98$
　合計　 $850.5$ 　 $304$ 　　／　／　　 $3.2$ 　 $28.8$ 　　 $3.6$
　平均　 $170.1$ 　 $60.8$ 　　／　／　　 $0.64$ 　 $5.76$ 　 $0.72$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↙︎　　　↓　　　↘︎
　　　　　　　　　　　　　　 ${S_x}^2 = 0.64$ 　 ${S_y}^2 = 5.76$ 　 $S_{xy} = 0.72$
　　　　　　　　　　　　　　　 $S_x = 0.8$ 　 $S_y = 2.4$ 　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↘︎　　　↓　　　↙︎
　　　　　　　　　　　　　　 $r_{xy} = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y} = \dfrac{0.72}{0.8 \times 2.4} = \dfrac{3}{8} = 0.375$

変換したり定理を使ったりするなら

〈定理〉
○　分散　　 $S_x^{\; 2} = \overline{\, x^2 \,} - \overline{\, x \,}^2$ 　　　　　　　… ①
○　共分散　 $S_{xy} = \overline{\, xy \,} - \overline{\, x \,} \cdot \overline{\, y \,}$ 　　　　 … ②

〈変換〉
○　 $x = cu + x_0$ 　　で変換すると　　 $\overline{\, x \,} = c \overline{\, u \,} + x_0$ 　 … ③
　　（ $\Leftrightarrow \quad u = \dfrac{x - x_0}{c}$ ）　　　　　　 $S_x = | c | S_u$ 　　　… ④
○　 $x = cu + x_0$ 　　で変換すると　　 $S_{xy} = cd \, S_{uv}$ 　　 … ⑤
　　 $y = dv + y_0$ 　　　　　　　 $r_{xy} = r_{uv}$ または $r_{xy} = - r_{uv}$ … ⑥

※　①〜⑥の証明はデータ分析：公式集をご覧ください。

(1)　　　数学　英語　　　変換
　　　　　x　　 y　　　 $u$ 　 $v$ 　 $u^2$ 　 $v^2$ 　 $uv$
　　A　　70　　63　　　 $2$ 　 $1$ 　　 $4$ 　 $1$ 　　 $2$
　　B　　70　　63　　　 $2$ 　 $1$ 　　 $4$ 　 $1$ 　　 $2$
　　C　　60　　59　　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$
　　D　　60　　63　　　 $0$ 　 $1$ 　　 $0$ 　 $1$ 　　 $0$
　　E　　55　　63　　 $-1$ 　 $1$ 　　 $1$ 　 $1$ 　 $-1$
　合計　　／　／　　　 $3$ 　 $4$ 　　 $9$ 　 $4$ 　　 $3$
　平均　　／　／　　　 $\dfrac{3}{5}$ 　 $\dfrac{4}{5}$ 　　 $\dfrac{9}{5}$ 　 $\dfrac{4}{5}$ 　 $\dfrac{3}{5}$
　↓　
　├　 ${S_u}^2 = \overline{\, u^2 \,} - \overline{\, u \,}^2 = \dfrac{9}{5} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{36}{25}$ 　より　 $S_u = \dfrac{6}{5}$
　├　 ${S_v}^2 = \overline{\, v^2 \,} - \overline{\, v \,}^2 = \dfrac{4}{5} - \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 = \dfrac{4}{25}$ 　より　 $S_v = \dfrac{2}{5}$
　└　 $S_{uv} = \overline{\, uv \,} - \overline{u} \cdot \overline{v} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{25}$
　　　　└→　 $r_{xy} = r_{uv} = \dfrac{\dfrac{3}{25}}{\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} = \dfrac{1}{4} = 0.25$

　ついでながら、
変換 $x = 5u + 60$ したので、 $\overline{\, x \,} = 5 \overline{\, u \,} + 60 = 5 \times \dfrac{3}{5} + 60 = 63$
　　　　　　　　　　　　　 $S_x = 5 S_u = 5 \times \dfrac{6}{5} = 6$
〃　 $y = 4v + 59$ 　　〃　　 $\overline{\, y \,} = 4 \overline{\, v \,} + 59 = 4 \times \dfrac{4}{5} + 59 = 62.2$
　　　　　　　　　　　　　 $S_y = 4 S_v = 4 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{5}$
　　　　　　　　 $S_{xy} = 5 \times 4 \times S_{uv} = 20 \times \dfrac{3}{25} = \dfrac{12}{5}$
　　　　　　　　 $r_{xy} = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{6 \cdot \dfrac{8}{5}} = \dfrac{1}{4} = 0.25$

(2)　　　　身長　　体重　　　変換
　　　　　　x　　　 y　　　 $u$ 　 $v$ 　 $u^2$ 　 $v^2$ 　 $uv$
　　A　　171.5　　62　　　 $3$ 　 $1$ 　　 $9$ 　 $1$ 　　 $3$
　　B　　170.0　　65　　　 $0$ 　 $2$ 　　 $0$ 　 $4$ 　　 $0$
　　C　　170.0　　59　　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$
　　D　　170.0　　59　　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$ 　 $0$ 　　 $0$
　　E　　169.0　　59　　 $-2$ 　 $0$ 　　 $4$ 　 $0$ 　　 $0$
　合計　　　／　／　　　 $1$ 　 $3$ 　　 $13$ 　 $5$ 　　 $3$
　平均　　　／　／　　　 $\dfrac{1}{5}$ 　 $\dfrac{3}{5}$ 　 $\dfrac{13}{5}$ 　 $1$ 　　 $\dfrac{3}{5}$
　↓　
　├　 ${S_u}^2 = \overline{\, u^2 \,} - \overline{\, u \,}^2 = \dfrac{13}{5} - \left( \dfrac{1}{5} \right)^2 = \dfrac{64}{25}$ 　より　 $S_u = \dfrac{8}{5}$
　├　 ${S_v}^2 = \overline{\, v^2 \,} - \overline{\, v \,}^2 = 1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25}$ 　より　 $S_v = \dfrac{4}{5}$
　└　 $S_{uv} = \overline{\, uv \,} - \overline{u} \cdot \overline{v} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{25}$
　　　　└→　 $r_{xy} = r_{uv} = \dfrac{\dfrac{12}{25}}{\dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{4}{5}} = \dfrac{3}{8} = 0.375$

　ついでながら、
変換 $x = \dfrac{1}{2} u + 170$ したので、 $\overline{\, x \,} = \dfrac{1}{2} \overline{\, u \,} + 170 = 170.1$
　　　　　　　　　　　　　　 $S_x = \dfrac{1}{2} S_u = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{5} = \dfrac{4}{5}$
〃　 $y = 3v + 59$ 　　〃　　 $\overline{\, y \,} = 3 \overline{\, v \,} + 59 = 3 \times \dfrac{3}{5} + 59 = 60.8$
　　　　　　　　　　　　　　 $S_y = 3 S_v = 3 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{5}$
　　　　　　　　　 $S_{xy} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times S_{uv} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{12}{25} = \dfrac{18}{25}$
　　　　　　　　　 $r_{xy} = \dfrac{S_{xy}}{S_x S_y} = \dfrac{\dfrac{18}{25}}{\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{5}} = \dfrac{3}{8} = 0.375$

◇　　　　　　◇　　　　　　◇

　　　　〜ＡＩは相関で動く〜
　　▷ 因果と相関
　　▷ データ分析：公式集
　　▷ 相関係数を求めてみよう
　　▷ 入試で２科目の得点が逆相関？

#相関係数

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相関係数の定義だけを使うなら

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