⇒（ならば）について考える

　日常の論理は暗黙の了解やいろんなニュアンスを含んでいて案外複雑。それに比べて記号論理（数学的な論理、デジタル論理）は無味乾燥で機械的。
　ここでは記号論理の「⇒（ならば）」について考え（想いを巡らせ）ます。次の記事とあわせてご覧ください。
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論理式の論理値を定義する

　記号論理（数学的な論理、デジタル論理）は「∧（かつ）、∨（または）、¬（〜でない）、⇒（ならば）」の４つで構成されます。英語でいうと、順に「 and と or と not と if 」。
　下表において、「１は真」を、「０は偽」を表します。

　その中で意外としっくりこないのが「 ⇒（ならば）」なんですね。というわけで、もうちょっといろいろあれこれ考えましょう。そうこうするうちに、なんとか腑に落ちると良いですね。

逆、裏、対偶をとってみる

　上の「$\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$」の定義に従って、逆「$\textup{Q} \Rightarrow \textup{P}$」、裏「$\bar{\textup{Q}} \Rightarrow \bar{\textup{P}}$」、対偶「$\bar{\textup{P}} \Rightarrow \bar{\textup{Q}}$」の真偽を調べてみました。
　結果は下表の通りです。原命題とその逆は真偽が一致しないこと、すなわち「逆は真ならず」が確認できました。
　また、原命題とその対偶の真偽が一致すること、すなわち「元の命題とその対偶は同値である」ことも確認できました。

　ちなみに、上表の下から２行目の $\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$ の値が０に変わると、原命題と逆の真偽が一致してしまいます。また、上表の一番下の行の $\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$ の値が０に変わると、原命題と対偶の真偽が一致しないことになります。いずれも論理的な整合性が取れないことになっちゃいます。
　やっぱり上表の「$\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$」でしかありえないということなのでしょう。

集合で考えると

　条件「$\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$」が真であるということは「条件 $\textup{P}$ を満たすものはすべて条件 $\textup{Q}$ を満たす」ということですから、集合のベン図で表すと「$\textup{P} \subset \textup{Q}$」（ $\textup{P}$ は $\textup{Q}$ の部分集合）となります。
　また「 $\textup{P}$ が $\textup{Q}$ の部分集合である」ということは「 $\textup{P}$ の内側かつ $\textup{Q}$ の外側、その場所は空っぽ」ということであり、言い換えると「 $\textup{P}$ の外側か $\textup{Q}$ の内側かのどちらか」ということ。それを論理式で書くと「$\bar{\textup{P}} \lor \textup{Q}$」となります。

　このことを論理表で確認してみましょう。下表を見ての通り、「$\textup{P} \Rightarrow \textup{Q}$」と「$\bar{\textup{P}} \lor \textup{Q}$」が同値（１，０の並びが同じ）であることが分かります。

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