パスカルの賭け

　パスカル（1623～1662）といえば「人間は考える葦である」という言葉で有名です。パスカルが書いた「パンセ」という本の中の一節です。
　一方で、パスカルは数学・科学分野でもたくさんの業績を残しています。今でも使われているものでは「パスカルの三角形」や「パスカルの原理」があり、気圧の単位「ヘクト・パスカル」も彼の名を冠しています。「パスカルの三角形」は中学・高校の数学で出てくるもので、$(a+b)^n$ の展開式を手早く作るときなどに使います。「パスカルの原理」は液体や気体の圧力に関する原理で、高校の理科で出てきます。「ヘクト・パスカル」は毎日の天気予報で耳にしますね。

　では、ここで「パスカルの賭け」について説明して、そこから「人間は考える葦である」の真意に迫ろうと思います。
　損得計算とはつまり期待値を計算することであって、「パスカルの賭け」では「神を信じるときの期待値」と「神を信じないときの期待値」をそれぞれ計算して、パスカルはその結果から「神を信じる方が得だ」と結論付けています。
　その計算過程を見ていきましょう。神は「存在するか、存在しないか」のどちらかです。人はそれを「信じるか、信じないか」のどちらかです。それぞれ２通りありますから、その組み合わせは全部で４通りになります。
　そして次のように値を設定します。

　これらを整理すると次表のようになります。ポイントは「神を信じて、かつ神が実際に存在する場合に得られる利得 $a$ 」を「無限大」としたことです。「確かにそうだろう」と思うかどうかは人それぞれだと思いますが、なにはともあれ、それがパスカルの前提です。そして、他の値はすべて有限の値です。

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\\ &\small{存在する}&\small{存在しない}\\&p_1&p_2\\&&　\\\hline\\　\small{信じる}　 &a\small{（無限大）}&b\\\\\hline\\\small{信じない}&c&d\\\\\hline\end{array}$

　さて、準備が整いました。パスカルは以上の条件から「神を信じる場合」と「神を信じない場合」の利得（＝お得度）の期待値を計算してみせました。

　結果は、見ての通りです。「神を信じる場合」の期待値の方が「神を信じない場合」 の期待値よりはるかに大きいですね。しかもその差は無限大です。確かに計算上はそうなります。なにしろ $a$ が無限大ですから、そうなるのは必然です。念のため説明しますと、$p_1$ がどんなに小さい値であっても、$b\,,\,c\,,\,d$ のいずれかが負の値であっても、結果は変わりません。
　これを踏まえてパスカルは言います。「無限大の利得に比べれば、有限の値の利得なんて無に等しい」と。だから「神を信じる方が合理的だ」と。パスカルはこれを言いたいがためにパンセを書いたのでしょう。
　この文脈によれば「人間は考える葦である」という文は、

そんな意味になるのです。

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