【小5・小6】立方体をどう切っても「正五角形」は作れない｜中学受験の切断問題が解ける3つのルール

立方体の切断は、中学受験の算数で多くの子がつまずく分野です。でも実は、たった2つの「なるほど」が分かるだけで、見え方ががらりと変わります。今日はその2つを、クイズから一緒に見つけていきましょう。

まずは、このクイズから

サイコロのような立方体を、包丁でまっすぐ一回だけ切ります。切る場所も角度も自由です。

このとき、切り口に「正三角形」「直角三角形」「正方形」「正五角形」「正六角形」「七角形」は現れるでしょうか。

切り方は無限にあるのだから、全部作れそうな気がしますよね。でも実は、6つのうち作れるのは3つだけです。しかも、作れないものはどんなに工夫しても絶対に作れません。

答えを見る前に、ぜひお子さんと予想してみてください。

切る位置を動かすと、切り口はこう変わる

立方体の1つの角から、斜めに少しずつ切り進めていきます。

切り始めは、角をちょこんと切り落とした小さな正三角形です。そのまま切り進めると、三角形はだんだん大きくなり、ある瞬間、角が削られて六角形に変わります。そしてちょうどまんなかまで来たとき、切り口は正六角形になります。

四角い箱の真ん中に、六角形が隠れているのです。

ここで、動きをよく見てください。三角形のとき、切り口は立方体の3つの面を通っています。六角形になった瞬間、切り口は6つの面すべてを通っています。

これが1つめの「なるほど」です。

切り口の辺の数は、包丁が通った面の数と同じ。

3つの面を通れば三角形、4つなら四角形、6つなら六角形。切り口の形は、この単純な決まりで生まれています。

答え:作れるのは正三角形・正方形・正六角形

立方体の切り口にできる形を、全部並べるとこうなります。三角形、四角形、五角形、六角形の4種類で、四角形には正方形・長方形・ひし形・台形・平行四辺形と、いろいろな形があります。

でも、よく見ると不思議なことに気づきます。四角形は、どれも平行な辺を持っています。五角形にも、六角形にも、平行な辺があります。

そして、一覧の下には「できない形」が並んでいます。直角三角形、鈍角三角形、平行な辺がない四角形、正五角形、そして七角形以上です。

五角形は作れるのに「正」五角形は作れない。三角形は作れるのに「直角」三角形は作れない。いったいなぜでしょうか。

2つめの「なるほど」:向かい合う面の切り口は平行

立方体の6つの面は、「上と下」「前と後ろ」「左と右」という、向かい合うペア3組でできています。この向かい合う面を両方切ると、切り口の線は必ず平行になります。

食パンを一枚、斜めに切ったところを想像してみてください。表にできた切れ目と裏にできた切れ目は、まったく同じ向きを向いていますよね。それと同じことです。

この2つの「なるほど」を使うと、さっきの「なぜ?」にすべて答えられます。

七角形ができない理由

立方体の面は6つしかありません。切り口の辺の数は包丁が通った面の数なので、どんなに工夫しても六角形が限界です。

正五角形ができない理由

五角形の切り口は、6つの面のうち5つを切ったときにできます。向かい合うペア3組から5つを選ぶと、必ず2組はペアがそろってしまいます。使わない面は1つだけなので、ペアが崩れるのは1組だけだからです。

つまり、立方体の五角形の切り口には、平行な辺が必ず2組あるのです。ところが、正五角形には平行な辺が1組もありません。だから、正五角形は絶対に作れないのです。

同じ理由で、四角形の切り口にも平行な辺が必ず1組以上あります。一覧の四角形がどれも平行な辺を持っていたのは、偶然ではなかったのです。

直角三角形ができない理由

三角形の切り口は、立方体の「角」を切り落としたときにできます。小学生には、「角を切り落とした三角形は、いつもとがった角ばかりになる」と伝えれば十分です。

ここだけ、高校の数学教師らしく理由も紹介します。切り落とした角から3本の辺にそって、切り口までの長さをa、b、cとします。中学3年で習う三平方の定理を使うと、切り口の三角形の3辺の長さの2乗は、a²+b²、b²+c²、c²+a²になります。

どの2辺を選んでも2乗を足すと、残りの1辺の2乗より必ず大きくなります。たとえば(b²+c²)+(c²+a²)は、a²+b²より2c²だけ大きいです。これは、三角形のどの角も90度より小さいという意味です。直角三角形も鈍角三角形も、立方体からは生まれないのです。

中学受験で問われるのは、4つのタイプ

立体の切断は、難関校ほどよく出る分野です。開成中の2019年度の算数では、切断と投影(影の形)を組み合わせた問題が出されました。この問題の講評では、切断は最上位校で最もよく出るテーマの一つで、切断だけに100時間かけても、本質的な理解がなければ解けない問題だったと評されています。また広尾学園中の入試分析でも、立体図形は頻出分野で切断が中心、複数回切る問題にも備える必要があるとされています。

ちなみに、この開成の問題にも出てきた「影」の問題は、こちらの記事で3つのルールにまとめています。切断とあわせて読むと、立体図形がぐっと得意になります。

入試問題や問題集を並べてみると、問われることは大きく4つに分かれます。

タイプ1:切り口の形を描く問題。「3点を通る平面で切ったとき、切り口は何角形か」を問う、いちばんの基本です。

タイプ2:切って分かれた立体の体積を求める問題。切り口を延長して大きな三角すいを作り、「似た形の体積の比は、辺の比を3回かけたもの」を使って解きます。

タイプ3:小さな立方体を積んだ立体を切る問題。「27個の小さな立方体のうち、切られるのは何個か」を問う問題で、難関校で差がつく定番です。

タイプ4:複数回切る、または他の分野と組み合わせる問題。開成や広尾学園のような、最上位校の応用問題です。

そして大事なのは、タイプ2〜4もすべて、切り口を正しく描く力の上に乗っていることです。切り口さえ描ければ、体積も個数も求められます。逆に、切り口を間違えると、その後の計算はすべて無駄になります。

切り口が描ける3つのルール

塾では、次の3つを「切断のルール」として習います。でも、ここまで読んだ方には、もうその理由が分かるはずです。

ルール1:同じ面にある2点は、まっすぐ結ぶ。切り口の辺は、包丁が面を通った跡です。1つめの「なるほど」そのものですね。逆に、違う面にある2点を結んではいけません。立方体の中を通る線は、切り口の辺ではないからです。これがいちばん多い間違いです。

ルール2:向かい合う面には、平行な線を引く。2つめの「なるほど」そのものです。

ルール3:結べないときは、辺を延長して「外」で交わらせる。切り口の線と立方体の辺を、どちらも外まで延ばして交わる点を作ります。その点を使えば、別の面の上に「同じ面にある2点」が作れます。

実際に解いてみよう

立方体ABCD-EFGHを考えます。上の面がABCD、下の面がEFGHで、Aの真下にE、Bの真下にFがあります。辺ABのまんなかの点をP、辺ADのまんなかの点をQとして、P、Q、そして下の面の頂点Gの3点を通る平面で切ります。切り口は何角形でしょうか。

「3点を通るのだから三角形」と答えたくなります。でも、PとG、QとGは違う面にあるので、ルール1により結んではいけません。

まずルール1で、同じ上の面にあるPとQを結びます。次にルール3で、QPを外まで延ばし、辺CBを延ばした線と交わる点をXとします。Xは右の面BCGFを延ばした平面の上にあるので、同じ平面上のGと結べます。この線が辺BFと交わる点がSです。反対側も同じようにして、辺DH上に点Rが見つかります。

できあがった切り口は、P、Q、R、G、Sを結んだ五角形です。3点を通るのに、五角形になるのです。

たしかめとしてルール2を見ると、左の面のQRと右の面のSG、後ろの面のRGと前の面のPSが、それぞれ平行になっています。「五角形には平行な辺が必ず2組ある」のとおりです。

入試では、この後に「BS:SFはいくつか」と続くことがよくあります。答えは1:2です。Xを作ったときにできる三角形の相似を使えば求められます。切り口を正しく描けた子だけが、次の問題に進めるのです。

もう1つのびっくり:一番大きな切り口は、正六角形じゃない

立方体の切り口の中で、一番面積が大きいのはどれでしょうか。「角が一番多い正六角形」と答えたくなりますよね。

1辺の長さが1の立方体で比べてみます。正六角形の切り口の面積は、約1.30です。ところが、一覧にある「長方形」のように、上の面の1本の辺と、下の面の向かい側の辺を通るように斜めに切ると、面積は約1.41。正六角形より大きいのです。

この長方形は、縦が1で、横が面の対角線の長さ(約1.41)です。立方体の中の「長い線」をそのまま辺に使えるので、角が4つしかなくても大きくなるのです。「角が多いほど大きい」という思い込みをひっくり返す、おもしろい例です。

家でできる「切り口実験」

切断が苦手な子の多くは、頭の中で立体を思い浮かべるのが苦手なだけです。これは、実際に手を動かすと一気に変わります。

いちばん手軽なのは、100円ショップのメラミンスポンジです。ペンで印をつけてカッターで切れば(カッターは大人が持ちましょう)、正三角形や六角形の切り口を自分の目で確かめられます。豆腐やチーズでもできます。

もうひとつのおすすめは、フタのある透明な立方体の容器に色水を入れて、傾けてみる方法です。水面がそのまま「切り口」になるので、傾け方を変えるだけで切り口の形が変わっていく様子を観察できます。水をちょうど半分入れて、容器の角を真下にして立てると、水面は正六角形になります。これを見た子は、まず驚きます。

練習問題5問(PDF)

この記事の内容を使って解ける練習問題を5問、PDFにまとめました。入試でよく出る4つのタイプを、すべて体験できるように作っています。答えと解説はPDFの最後のページにあります。印刷しても、iPadのノートアプリに取り込んでも使えます。

おわりに

立方体は、小学生にとっていちばん身近な立体です。でも、切り方ひとつで正六角形が現れたり、正五角形は絶対に現れなかったりと、意外な顔をたくさん持っています。

その「なぜ?」を考えることが、そのまま中学受験の切断問題を解く力になり、さらには高校の空間図形やベクトルの土台にもつながっていきます。ルールを丸暗記するより、「なぜそうなるのか」を一度納得した子のほうが、応用問題に強くなります。

まずは今日、お子さんに「立方体を切って、正五角形って作れると思う?」と聞いてみてください。そこから始まる会話が、いちばんの図形の勉強になります。

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