『うちの子、図形センスがない』と思ったら｜高校数学教師が教える、バラバラの面積公式が1本の線でつながる瞬間

「計算はできるのに、図形になると手が止まる」

「解説を読んでも、なぜそこに線を引くのか分からない」

そんなわが子を見て、「うちの子、図形センスがないのかも…」と心配になったことはありませんか。

中学受験の算数では、図形はよく「センスの分野」と言われます。でも、高校で数学を教え、家庭教師として御三家合格まで伴走してきた立場から、はっきりお伝えしたいことがあります。

図形の力は、生まれつきのセンスではありません。いくつかの「見方」を知っているかどうかです。

この記事では、その中でもいちばん土台になる「面積」の見方を3つ紹介します。読み終わるころには、バラバラに見えていた面積の公式が、1本の線でつながって見えるはずです。最後に、家で使える練習プリント（12問・解答つき・無料）もつけました。

なぜ、小5の「面積」が分かれ道なのか

小6になると、等積変形、面積の比、相似と、入試に直結する図形の単元が次々に出てきます。そのどれもが、「底辺はどこ？ 高さはどこ？」で面積を見る力の上に積み上がっています。

ところが、小5の面積を「公式の暗記」で通りすぎてしまうと、問題の形が少し変わっただけで、どの公式を使えばいいか分からなくなります。これが、小6で図形が急に苦しくなる大きな原因の1つです。

逆に言えば、小5のうちに「見方」を身につけておけば、小6の図形はずっと楽になります。今がいちばん大事で、今ならまだ十分に間に合います。

見方①　面積の公式は、じつは1つだけ

三角形、平行四辺形、台形。小5で習う面積の公式は、ふつう次の3つです。

・三角形：底辺 × 高さ ÷ 2
・平行四辺形：底辺 × 高さ
・台形：（上の辺 ＋ 下の辺）× 高さ ÷ 2

子どもはよく「どれが÷2だっけ？」と混乱します。でも、ここで台形の上の辺を、少しずつ縮めていくところを想像してみてください。

上の辺がどんどん短くなって、最後に0になると……台形は三角形になります。台形の公式に上の辺 ＝ 0 を入れると、（0 ＋ 下の辺）× 高さ ÷ 2 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2。三角形の公式そのものです。

反対に、上の辺をのばして下の辺と同じ長さにすると、台形は平行四辺形になります。（底辺 ＋ 底辺）× 高さ ÷ 2 ＝ 底辺 × 高さ。これも平行四辺形の公式と同じです。

つまり、3つの公式は、台形の公式1つの中に全部入っていたのです。

数字でも確かめてみましょう。下の辺8cm、高さ4cmの台形で、上の辺を8cm → 6cm → 4cm → 2cm → 0cm と縮めると、面積は 32 → 28 → 24 → 20 → 16（cm²）と、4cm²ずつ減っていきます。はじめの32cm²は平行四辺形（8 × 4）、最後の16cm²は三角形（8 × 4 ÷ 2）。形がなめらかに変わるのに合わせて、面積もなめらかに変わる。この表を子どもと一緒に作ると、「全部同じなんだ！」と自分で気づくきっかけになります。

ママの声かけ
「この三角形、台形の仲間だと思う？」
「上の辺を0cmにしたら、台形の公式はどうなる？」

見方②　頂点を動かしても、面積は変わらない

ここからが、入試で差がつく見方です。

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」。ということは、底辺と高さが同じなら、形がちがっても面積は同じです。

底辺と平行な線を1本引いて、その線の上で三角形の頂点をすーっとすべらせてみてください。三角形の形はどんどん変わりますが、高さ（平行な2本の線の間の長さ）は変わりません。だから、面積も変わらないのです。

これを「等積変形（とうせきへんけい）」といいます。中学受験の図形問題で、「求めにくい形を、面積の同じ求めやすい形に変える」ときに何度も使う、大切な見方です。

家で感じてもらうなら、トランプの束がおすすめです。きれいにそろえた束を横から押して斜めにずらすと、側面の形は長方形から平行四辺形に変わります。でも、カードの枚数は1枚も変わっていません。形が変わっても、量は同じ。この感覚が、等積変形の正体です。

この見方をもう一歩進めると、「高さが同じ三角形どうしなら、面積の比は底辺の比」になります。小6で出てくる「面積の比」の入り口です。

ママの声かけ
「頂点をここまで動かしたら、面積は大きくなる？ 小さくなる？」
「高さは変わった？ 定規で測ってみよう」

見方③　「高さはどこ？」でつまずかせない

面積でいちばん多いまちがいは、かたむいた辺の長さを「高さ」と思ってしまうことです。

高さとは、頂点から底辺に直角に下ろした線のこと。そして、1つの角が90°より大きい三角形（鈍角三角形）では、高さが三角形の外側に出ることがあります。底辺をのばした線に向かって、まっすぐ下ろすのです。

ここで子どもが迷ったら、説明するよりも、指を使ってもらうのがいちばんです。

ママの声かけ
「底辺はどこ？ 指でなぞってみて」
「頂点から、底辺に向かって指をまっすぐ下ろしてごらん」
「その線、底辺と直角になってる？」

図に底辺と高さを自分で書きこめたら、その問題は半分解けています。

図形が苦手なママでも、家でできること

「私自身が図形が苦手で、教えられる自信がない」という方もいると思います。でも大丈夫です。答えを教える必要はありません。問いかけるだけでいいのです。

・方眼紙で台形をかく：上の辺を1マスずつ縮めて、面積の表を作る（見方①）
・トランプやノートの束をずらす：形が変わっても量は同じことを手で感じる（見方②）
・問題を解く前に、底辺と高さに色をぬる：赤で底辺、青で高さ、と決めておく（見方③）

子どもは、教えられたことより、自分で気づいたことのほうをずっと長く覚えています。お母さんの役目は、気づくきっかけになる質問をすることです。

やってはいけない3つのこと

1. 「公式を覚えなさい」で終わらせる
暗記した公式は、形が少し変わるだけで使えなくなります。「なぜその公式になるのか」をセットにしましょう。

2. 「図形センスがないね」と口にする
子どもは「自分は図形ができない人だ」と思いこむと、図を見る前にあきらめるようになります。できないのはセンスではなく、まだ「見方」を知らないだけです。

3. 補助線をすぐに見せる
答えの線を先に見せると、子どもは「ひらめくもの」だと思ってしまいます。「底辺と高さはどこ？」から一緒に探すと、補助線は「理由があって引くもの」に変わります。

数学教師の視点：この見方は、高校数学まで続いている

トランプをずらしても量が変わらない、という見方。じつはこれ、高校で習う「積分」につながる考え方です。

図形を細く細く切って、その切り口を足し合わせれば、面積や体積が求められる。17世紀のイタリアの数学者カヴァリエリは、「切り口の大きさがどこでも同じなら、ずらしても面積や体積は同じ」という考え方を示しました。今では「カヴァリエリの原理」と呼ばれています。

さらにさかのぼると、2000年以上前の古代ギリシャの数学者アルキメデスも、図形を細かく分けて考える方法で、球の体積がそれにぴったり入る円柱の体積のちょうど3分の2になることを見つけました。アルキメデスはこの発見をとても誇りに思い、自分のお墓に球と円柱の図を刻んでほしいと願ったと伝えられています。

何千年も前の数学者が一生をかけて大切にしたのは、「形と形のあいだにある、美しいつながり」でした。小5の子が台形の上の辺を縮めて「全部同じだ！」と気づく瞬間は、それと同じ種類の発見です。そしてその経験は、何年も先の高校の教室で、積分という形でもう一度つながります。

まとめ

・図形の力は、センスではなく「見方」で決まる
・見方①：面積の公式は台形1つ。上の辺を0にすると三角形、下の辺と同じにすると平行四辺形
・見方②：底辺と高さが同じなら、面積も同じ（等積変形）。高さが同じなら、面積の比 ＝ 底辺の比
・見方③：高さは直角に下ろした線。図形の外に出ることもある
・お母さんは答えを教えなくていい。「底辺はどこ？」「高さはどこ？」と問いかけるだけでいい

図形は、才能ではなく見方。そして見方は、今日からの声かけで育ちます。今夜、お子さんに「この三角形、台形の仲間だと思う？」と聞いてみてください。

あなたのお子さんは、図形のどんなところでつまずきやすいですか？ よければコメントで教えてください。次の記事づくりの参考にさせていただきます。

練習プリント（無料・解答つき）

A4・全5ページ。「3つの見方」のまとめと、練習A（公式を1つにする）・練習B（高さを見つける）・練習C（等積変形・面積の比）の全12問、解答と解説つきです。印刷してお使いください。

図形の見方をもう1つ増やしたい方は、相似を使う「影の問題」もどうぞ。

まちがえた問題の直し方は、こちらにまとめています。

このnoteについて
高校数学教師（中学校でも指導経験あり）・家庭教師・元塾講師の父が、家ですぐ使える算数の声かけ・プリント・家庭学習の工夫を発信しています。図形の記事はマガジン「図形・立体」にまとめています。役に立ったら、スキとフォローをしていただけるとうれしいです。はじめての方は、こちらの自己紹介からどうぞ。