この長さ、何cm？｜相似は「ピラミッド」と「ちょうちょ」の2つだけ。2600年前の数学者と同じ見方で

線が何本も引かれた図形の問題を前に、子どもが鉛筆を持ったまま固まっている。

解説を開いてみると、書いてあるのは「相似より」のひと言だけ。どこが相似なのか、親が読んでも分からない……。

中学受験の算数で、こんな経験をしたことはありませんか。

相似は、小6の入試図形のど真ん中にある単元です。そして「センスがある子しか解けない」と思われやすい単元でもあります。でも、高校で数学を教えている立場から、はっきりお伝えします。

中学受験に出てくる相似は、ほとんどが「2つの形」のどちらかです。その形を探すだけで、問題の半分は解けています。

この記事では、その2つの形と見つけ方を、2600年前のある数学者の物語と一緒に紹介します。最後に、家で使える練習プリント（12問・解答つき・無料）もつけました。

2600年前、影だけでピラミッドの高さを測った人がいた

古代ギリシャに、タレスという数学者がいました。

タレスは、エジプトの巨大なピラミッドの高さを、登りもせず、ひもで測りもせずに求めたと伝えられています。使ったのは、地面に立てた1本の棒と、太陽の光がつくる影だけでした。

同じ時刻なら、太陽の光はどこでも同じ向きから当たります。だから、棒と棒の影がつくる三角形と、ピラミッドとピラミッドの影がつくる三角形は、大きさはちがっても、形はまったく同じになります。

棒：棒の影 ＝ ピラミッド：ピラミッドの影

棒と影の長さ、ピラミッドの影の長さが分かれば、ピラミッドの高さが計算で出せる。手が届かない大きなものでも、「形が同じ」と分かれば測れてしまう。これが、相似の正体です。

子どもが向き合っている相似の問題は、2600年前の人が巨大なピラミッドに挑んだのと、同じ考え方でできています。

形その1　ピラミッド型

三角形の中に、底辺と平行な線が1本入っている形です。上にできる小さな三角形と、全体の大きな三角形は、形が同じ（相似）です。

例題：三角形ABCで、DEはBCと平行です。AD＝4cm、DB＝2cm、BC＝9cm のとき、DEの長さは？

AB ＝ 4 ＋ 2 ＝ 6cm。小さい三角形と大きい三角形の比は、AD：AB ＝ 4：6 ＝ 2：3。だから DE ＝ 9 × 2/3 ＝ 6cm です。

ここでいちばん多いまちがいが、AD：DB（4：2 ＝ 2：1）をそのまま使ってしまうことです。比べるのは「小さい三角形」と「大きい三角形」なので、長さは必ずてっぺん（A）から測る。これを合言葉にしてください。

ママの声かけ
「小さい三角形と大きい三角形、どっちもてっぺんはどこ？」
「その辺、てっぺんから測ってる？」

形その2　ちょうちょ型

上と下に平行な線が2本あり、それを2本の線が交差してつないでいる形です。ちょうちょや砂時計のように見えるので、こう呼ばれます。上の三角形と下の三角形が相似です。

例題：ABとCDは平行で、ADとBCがOで交わっています。AB＝6cm、CD＝9cm、AO＝4cm のとき、ODの長さは？

上下の三角形の比は、AB：DC ＝ 6：9 ＝ 2：3。だから AO：OD も 2：3 で、OD ＝ 4 × 3/2 ＝ 6cm です。

じつはこの形、台形の対角線を引くと必ず現れます。台形の上の辺と下の辺が平行なので、2本の対角線の交わる点で、ちょうちょ型ができるのです。前回の面積の記事の練習プリントに出てきた「台形の対角線」の問題も、この形でした。

ママの声かけ
「平行な線はどれとどれ？」
「交差している点はどこ？ そこを中心に、上と下の三角形をぬってみて」

見つけ方の3ステップ

入試の図は線が多く、2つの形がほかの線にまぎれて見えにくくなっています。そこで、次の順番で探します。

① 平行な線を探す
相似のスタートは、ほぼ必ず「平行な線」です。問題文の「平行」という言葉に印をつけましょう。

② ピラミッドか、ちょうちょかを色でぬる
見つけた形を、2色の色えんぴつでぬり分けます。形が目に見えると、比べる辺がはっきりします。

③ 対応する辺に同じ色で印をつける
小さい三角形と大きい三角形で、「同じ役割の辺」どうしに同じ印をつけます。ここまでできたら、あとは比の計算だけです。

難しい問題で引かれる補助線も、ほとんどは「この2つの形を作るため」に引くものです。「なぜそこに線を引くの？」の答えは、「ピラミッドかちょうちょを作りたいから」。これが分かると、補助線は「ひらめき」ではなく「目的があって引く線」に変わります。

家でできる実験：影で家の高さを測ってみよう

晴れた日に、ぜひ親子でタレスと同じことをやってみてください。

・長さ1mの棒（ものさしでもOK）をまっすぐ立てて、影の長さを測る
・同じ時刻に、家や木の影の長さを歩幅やメジャーで測る
・「棒：棒の影 ＝ 家：家の影」で、家の高さを計算する

たとえば、1mの棒の影が1.5m、木の影が9mなら、木の高さは 9 ÷ 1.5 ＝ 6m です。紙の上の問題が、目の前の景色とつながる体験は、子どもの記憶に長く残ります。

やってはいけない3つのこと

1. 比の公式を丸暗記させる
「AD：AB ＝ DE：BC」を覚えても、図の向きが変わると使えません。「てっぺんから測る」「上下の三角形を比べる」という形で覚えましょう。

2. 補助線をすぐに見せる
答えの線を先に見せると、子どもは「ひらめくもの」だと思ってしまいます。「平行な線はどれ？」から一緒に探してください。

3. 図を小さくかかせる
図が小さいと、2つの三角形が重なって見分けられません。ノートの半分くらいの大きさで、大きくかくのがコツです。

数学教師の視点：相似は、高校の「三角比」の入口

相似には、もう1つ大切な性質があります。辺の比（相似比）が 2：3 なら、面積の比は（2×2）：（3×3）＝ 4：9 になります。これは小6の入試でもよく出る「面積比」です。

そして相似は、中学3年で改めて学び、高校の三角比（sin・cos・tan）へとつながります。三角比とは、直角三角形の「形」が決まれば辺の比も決まる、という考え方で、まさに相似そのものです。測量や建築では、今でもこの考え方で、直接は測れない高さや距離を求めています。

タレスが棒と影でピラミッドの高さを求めた考え方は、2600年たった今も、高校の教室と社会の中で生きています。小6の子が「ピラミッド型だ！」と見つけた瞬間は、その長い歴史の入口に立った瞬間でもあるのです。

まとめ

・相似は、ひらめきではなく「形さがし」
・形その1：ピラミッド型。比は「てっぺんから測る」
・形その2：ちょうちょ型。平行な2本の線を、交差する線がつなぐ
・見つけ方：①平行な線を探す ②色でぬる ③対応する辺に印
・補助線は「2つの形を作るため」に引く

相似は、2600年前の数学者が巨大なピラミッドに挑んだのと同じ見方です。今夜、お子さんと一緒に問題の図を色でぬり分けて、「ピラミッドとちょうちょ、どっちかな？」と探してみてください。

お子さんは、図形のどんな問題で手が止まりやすいですか？ よければコメントで教えてください。次の記事づくりの参考にさせていただきます。

練習プリント（無料・解答つき）

A4・全5ページ。「2つの形」と見つけ方のまとめと、練習A（ピラミッド型）・練習B（ちょうちょ型）・練習C（面積の比と影）の全12問、解答と解説つきです。印刷してお使いください。

面積の見方をまだ読んでいない方は、こちらからどうぞ。相似の前に押さえておきたい土台です。

相似を使って解く「影の問題」は、こちらで詳しく解説しています。

このnoteについて
高校数学教師（中学校でも指導経験あり）・家庭教師・元塾講師の父が、家ですぐ使える算数の声かけ・プリント・家庭学習の工夫を発信しています。図形の記事はマガジン「図形・立体」にまとめています。役に立ったら、スキとフォローをしていただけるとうれしいです。はじめての方は、こちらの自己紹介からどうぞ。