ひまわりの種は、なぜ「34」と「55」なのか｜高校数学教師が教える、フィボナッチ数列とフラクタルの神秘

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

ただの数の並びに見えますよね。でもこの数たち、ひまわりの種のらせんにも、松ぼっくりのうろこにも、階段ののぼり方にも、なぜか顔を出します。

そしてこの数列をたどっていくと、「どこを切り取っても、全体と同じ形が出てくる」という、ちょっと不思議な図形の世界、フラクタルにたどり着きます。

今日は高校数学教師の私が、親子で「えっ、すごい！」となる数の不思議を、順番にお話しします。むずかしい式はほとんど使いません。読み終わるころには、子どもに話したくなるネタが、いくつも手に入るはずです。

1. 前の2つを足すだけの、ふしぎな数列

ルールはたった1つ。「前の2つを足して、次の数をつくる」だけです。

1 ＋ 1 ＝ 2
1 ＋ 2 ＝ 3
2 ＋ 3 ＝ 5
3 ＋ 5 ＝ 8
5 ＋ 8 ＝ 13 …

この数の並びをフィボナッチ数列といいます。今から800年ほど前、イタリアの数学者フィボナッチが、本の中で「うさぎのつがいは、どう増えていくか」という問題として紹介したことで有名になりました。

こんなに単純なルールなのに、この数列は、この先びっくりするような場所に次々と現れます。

2. 階段ののぼり方が、なぜか同じ数になる

まずは、身近なところから。

問題：階段を「1段ずつ」か「2段ずつ」のぼります。10段の階段ののぼり方は、何通りあるでしょう？

小さい数から順番に数えてみます。

1段：1通り
2段：2通り（1＋1、2）
3段：3通り
4段：5通り
5段：8通り

…あれ？ 1, 2, 3, 5, 8。フィボナッチ数列です。

理由はこうです。たとえば5段目にたどり着くには、「4段目から1段のぼる」か「3段目から2段のぼる」かのどちらか。だから、5段目へののぼり方は、4段目へののぼり方と3段目へののぼり方の合計になります。まさに「前の2つを足す」です。

このまま続けると、6段は13通り、7段は21通り、8段は34通り、9段は55通り、そして10段は89通り。全部書き出したら大変な数を、足し算だけで出せてしまいます。

実はこの考え方、中学受験の「規則性」や「場合の数」でよく出てくる、定番の解き方でもあります。

3. 親もびっくり！「10個足すと、7番目の11倍」マジック

ここで、家族で盛り上がる数のマジックを1つ。

やり方
1. 子どもに、好きな数を2つ選んでもらいます（たとえば 3 と 4）。
2. フィボナッチ数列と同じように、「前の2つを足す」で10個並べてもらいます。
3. ママ・パパは後ろを向いたまま、「7番目の数だけ教えて」と言います。
4. その数を11倍して、「10個の合計は〇〇でしょ！」と当てます。

3 と 4 で始めると、こうなります。

3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199

10個の合計は 517。7番目の 47 × 11 ＝ 517。ぴったりです。

どんな2つの数から始めても、必ず当たります。種明かしは、最初の2つを「あ」「い」とおいて10個書き出すと、合計がちょうど「7番目の数の11倍」になるから。小学校高学年なら、□や○を使って自分で確かめられる、ちょうどいいレベルの謎解きです。

4. となり同士で割ると、「1.618…」に近づいていく

フィボナッチ数列には、もう1つ秘密があります。となり同士の数で、大きいほうを小さいほうで割ってみると…

8 ÷ 5 ＝ 1.6
13 ÷ 8 ＝ 1.625
21 ÷ 13 ＝ 1.615…
34 ÷ 21 ＝ 1.619…
55 ÷ 34 ＝ 1.617…
89 ÷ 55 ＝ 1.618…

大きくなったり小さくなったりしながら、1.618…という数に、どんどん近づいていきます。

この 1.618… は黄金比と呼ばれる数です。小数点以下が終わらず、くり返しもない、ちょっと神秘的な数です。実は、正五角形の「対角線と1辺の長さの比」も、ぴったりこの黄金比になっています。

5. 正方形を並べると、うずまきが現れる

今度は、数を「形」にしてみましょう。

1辺が 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … の正方形を、ぐるぐると回るように並べていきます。そして、それぞれの正方形に四分円（円の4分の1）をつないで描くと、美しいうずまきが現れます。

並べた正方形全体は、だんだん黄金長方形（たてと横の比が黄金比の長方形）に近づきます。黄金長方形には不思議な性質があって、中から正方形を1つ切り取ると、残りの長方形がまた同じ形の黄金長方形になります。そこからまた正方形を切り取ると、また同じ形。これがどこまでも続きます。

この「部分が全体と同じ形になっている」性質を、自己相似（じこそうじ）といいます。この言葉が、次のフラクタルの世界への入口です。

6. 自然の中に隠れたフィボナッチ

ここからが、いちばん神秘的なところです。

ひまわり：種の並びをよく見ると、右回りと左回りのらせんが見えます。その本数を数えると、34本と55本、大きな花なら55本と89本のように、となり合うフィボナッチ数になっていることが多いのです。

松ぼっくり：うろこのらせんも、8本と13本のような組み合わせがよく見られます。

ロマネスコ（とんがったブロッコリーのような野菜）：小さな房が、全体とそっくりな形をしています。その房のらせんの本数も、フィボナッチ数になっていることが多いです。

植物が数を「知っている」わけではありません。限られたスペースに種や葉をすき間なく並べようとすると、自然とこの並び方になりやすい、と考えられています。それでも、ひまわりのらせんを家族で数えて「本当に34だ！」となる瞬間は、何度体験してもワクワクします。

7. どこを切っても同じ形——フラクタルの世界

ロマネスコのように、拡大しても拡大しても、同じ形が出てくる図形を、フラクタルといいます。

代表的なのがシェルピンスキーの三角形です。

1. 正三角形を描きます。
2. 3つの辺の真ん中を結んでできる、真ん中の三角形をくりぬきます。
3. 残った3つの三角形でも、同じことをします。
4. これを、どこまでもくり返します。

すると、どこを拡大しても、また同じ三角形のもようが出てくる図形ができあがります。

ここで、親もびっくりする事実を2つ。

① 面積は、どんどん0に近づく
1回くりぬくごとに、残る面積は4分の3になります。10回くり返すと、残る面積はもとの約5.6%。ずっと続けると、面積はほぼ0になってしまいます。それなのに、形はちゃんとそこにあるのです。

② 「1.58次元」の図形
線は1次元、面は2次元。ではシェルピンスキーの三角形は？ 数学では、この図形は約1.58次元という、「線と面のあいだ」の次元をもつと考えます。次元が整数にならない。これがフラクタルの、いちばん不思議なところです。

フラクタルは、自然の中にもたくさんあります。木の枝分かれ、雷の形、雪の結晶、入り組んだ海岸線、そして私たちの肺の中の気管支や、血管の枝分かれも、フラクタルに近い形をしています。

8. パスカルの三角形に、両方が隠れていた

最後に、フィボナッチ数列とフラクタルが1つの図の中で出会う話をします。

上に1を置き、下の段は「左上と右上の数を足す」で作っていく三角形を、パスカルの三角形といいます。

1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1

ななめに足すと、フィボナッチ数列
この三角形の数を、少しななめの線にそって足していくと、1, 1, 2, 3, 5, 8 …とフィボナッチ数列が出てきます。

奇数だけ塗ると、シェルピンスキーの三角形
同じ三角形を何段も書いて、奇数のマスだけに色を塗ると、さっきのシェルピンスキーの三角形が浮かび上がってきます。

足し算だけで作った三角形の中に、フィボナッチ数列とフラクタルの両方が、最初から隠れていたのです。

数学教師の視点：高校・大学の数学へつながる入口

今日の話は、ただの雑学ではありません。

「前の2つを足して次を作る」という考え方は、高校数学Bの漸化式（ぜんかしき）そのものです。黄金比 1.618… は、高校で学ぶ2次方程式を使うと、きちんと値を求められます。そしてフラクタルは、大学の数学や、映画のCGで山や雲を描く技術にも使われています。

小学生のうちに「数の並びには、かくれたきまりがある」「同じルールのくり返しが、ふしぎな形を生む」という体験をしておくと、高校でこれらに出会ったときに、「あ、あのときの話だ」とつながります。算数を好きになるきっかけは、テストの点よりも、こういう「すげー！」の体験であることが多いのです。

家でできる、ふしぎ体験3つ

1. 方眼紙で黄金のうずまきを描く
1マス、1マス、2マス、3マス、5マス、8マスの正方形を順に並べて、コンパスで四分円をつなぎます。きれいなうずまきが描けたら大成功です。

2. パスカルの三角形の塗り絵
16段くらいまで書いて、奇数のマスだけ塗ります。計算は足し算だけ。奇数か偶数かだけ分かればいいので、大きな数は下1けただけ足しても大丈夫です。塗り終わったとき、三角形のもようが浮かび上がります。

3. 本物を数える
松ぼっくりやひまわり、スーパーで見かけたらロマネスコ。らせんの本数を数えてみてください。ぴったりにならないこともありますが、「近い数になるかな？」と確かめること自体が、立派な自由研究になります。

子どもに話したくなる、ひとことネタ

・「階段を1段か2段でのぼると、10段ののぼり方は89通りあるんだよ」
・「ひまわりの種のらせん、数えると34本と55本になってることが多いんだって」
・「好きな2つの数から10個並べて足すと、7番目の数の11倍になるよ。やってみる？」
・「線は1次元、面は2次元。1.58次元の図形があるって知ってた？」

どれか1つでも、夕ごはんのときに話してみてください。「なんで？」が出たら、もうこっちのものです。

まとめ

・フィボナッチ数列は「前の2つを足す」だけ。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …
・階段ののぼり方、10個足すマジック、黄金比 1.618… にもつながる
・正方形を並べるとうずまきが現れ、「部分が全体と同じ形」＝自己相似が見えてくる
・どこを拡大しても同じ形が出てくるのがフラクタル。面積はほぼ0、次元は約1.58
・パスカルの三角形の中に、フィボナッチ数列とフラクタルの両方が隠れている

単純なルールのくり返しから、自然界の美しい形が生まれる。数学のいちばん「神秘的」で、いちばん楽しいところです。

黄金比が隠れている正五角形。その正五角形が「立方体をどう切っても作れない」という、もう1つの不思議はこちらの記事で書いています。

算数で「えっ」となる話が好きな子には、こちらもおすすめです。

このnoteについて
高校数学教師（中学校でも指導経験あり）・家庭教師・元塾講師の父が、家ですぐ使える算数の声かけ・プリント・家庭学習の工夫を発信しています。役に立ったら、スキとフォローをしていただけるとうれしいです。はじめての方は、こちらの自己紹介からどうぞ。