【小5・小6】東大の入試問題が、小学生の算数で解ける｜「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

日本でいちばん難しいと言われる東京大学の入試。その数学で、問題文がたった1行しかない問題が出たことがあります。

「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

2003年の東大入試(前期日程・理系第6問)です。東大の数学の入試問題の中でも、おそらく最も有名な問題のひとつです。

「円周率は3.14だから3.05より大きい」と答えたくなりますよね。でも、それでは答えになりません。「3.14」という数字を使わずに、なぜ3.05より大きいと言えるのか。それを自分の力で説明しなさい、という問題なのです。

実はこの問題、考え方のほとんどは、小学生が習う算数でたどれます。中学受験をしている子なら、「あ、これ塾でやった!」と思う図形も出てきます。今日はその道すじを、一緒にたどってみましょう。

なぜ東大は、この問題を出したのか

この問題が有名になったのには、理由があります。

1999年ごろ、学習塾の広告をきっかけに、「これからの小学生は円周率を3と習うらしい」という話が広まり、「ゆとり教育」への批判として大きく報道されました。実際には、教科書の円周率は3.14のままで、「目的に応じて3を使ってもよい」という扱いだったのですが、「円周率は3」という言葉だけが一人歩きしたのです。

そんな中で出されたのが、この東大の問題でした。「3じゃない。ちゃんと3より大きいことを、自分で確かめてみなさい」。そんな東大からの問いかけのように受け止められ、話題になったのです。

まずは「3より大きい」を、小学生の算数で

いきなり3.05は難しいので、まずは「円周率は3より大きい」を説明してみましょう。お子さんに「なんで円周率って3より大きいの?」と聞いてみてください。答えられたら、かなりのものです。

方法1:円の中に、正六角形をかく

円の中に、ぴったり入る正六角形をかきます。小学校で、コンパスで円周を区切って正六角形をかいたことがあるはずです。

正六角形は、中心から分けると6つの正三角形になります。だから、正六角形の1辺の長さは、円の半径と同じです。周りの長さは半径の6倍、つまり直径のちょうど3倍です。

ところが、図をよく見ると、円周は正六角形の辺の外側をふくらんで通っています。まっすぐ進むより、ふくらんで進むほうが道のりは長い。だから、

円周 > 正六角形の周り = 直径×3

円周率は「円周÷直径」なので、円周率は3より大きい。小学5年生の知識だけで、証明できてしまいました。

方法2:中学受験生おなじみの「正十二角形」

中学受験をしている子なら、こちらの方法を知っているかもしれません。

「半径rの円にぴったり入る正十二角形の面積は、r×r×3」。塾や市販の問題集でよく出てくる、有名な問題です。

正十二角形を中心から分けると、頂点の角が30度の二等辺三角形が12個できます。この三角形で、片方の半径を底辺にすると、高さは半径の半分になります。三角定規の「30度の角のある直角三角形は、正三角形を半分にした形」という、中学受験の定番テクニックです。

だから三角形1個の面積は、r×(r÷2)÷2 = r×r÷4。それが12個で、正十二角形の面積はr×r×3になります。

円の面積は「r×r×円周率」。そして円は、中に入っている正十二角形より広いので、

r×r×円周率 > r×r×3

ここからも、円周率は3より大きい。中学受験の問題の答え「3」は、実は円周率を下からおさえる数だったのです。中学受験生でも、このつながりに気づいている子はあまりいません。

でも、どちらも「3」止まり

ここで不思議なことに気づきます。正六角形でも正十二角形でも、出てくる答えは「3より大きい」。東大が求めた「3.05より大きい」には、あと少し届きません。

この「あと0.05」をどう超えるかが、東大の問題の本当のところです。

東大が求めた「あと0.05」を超える

ヒントは、方法1で使った正六角形の、角の数を増やすことです。

正六角形を正十二角形にすると、形はぐっと円に近づきます。周りの長さも円周に近づくので、「直径×3」より長くなるはずです。これは計算しなくても、小学生にも想像できますよね。

問題は「どれくらい長くなるか」。ここだけは、中学3年で習う三平方の定理(直角三角形で、斜辺×斜辺 = 他の2辺それぞれの2乗の和)を借ります。それ以外は、すべて小学生のかけ算で進みます。

正十二角形の1辺を求める

半径を1(直径を2)とします。正十二角形の1辺ABと中心Oでできる、頂点の角が30度の三角形を考えます。

AからOBに垂直な線をおろし、その足をHとします。方法2と同じで、AHは半径の半分の0.5です。OHは「1辺が1の正三角形の高さ」で、OH×OH = 0.75です。

ここで、小学生のかけ算の出番です。0.87×0.87 = 0.7569で、0.75より大きい。だからOHは0.87より小さく、HB = 1−OHは0.13より大きいことが分かります。

直角三角形AHBに三平方の定理を使うと、

AB×AB = 0.5×0.5 + HB×HB > 0.25 + 0.13×0.13 = 0.2669

さらに0.516×0.516 = 0.266256で、0.2669より小さいので、正十二角形の1辺は0.516より長いことが分かります。

いよいよ、東大の答え

正十二角形の周りは、0.516×12 = 6.192より長い。円周はそれよりさらに長いので、

円周 > 6.192

直径は2なので、円周率 = 円周÷2 > 6.192÷2 = 3.096。

円周率は3.096より大きい。だから、3.05よりも大きい。

東大の問題、解けてしまいました。使ったのは、「正六角形を正十二角形にする」という発想と、三角定規の30度、そして小数のかけ算。中学の知識は、三平方の定理だけです。

東大の入試というと、難しい公式や特別な解き方が必要なイメージがありますよね。でもこの問題で問われたのは、知っていることを組み合わせて、もう一歩先まで考える力でした。

なぜ「3.05」だったのか

ここでもうひとつ、おもしろいことがあります。円に入れた正多角形の周りが、直径の何個分になるかを並べてみます。

正六角形はちょうど3個分。正八角形にすると約3.06個分。正十二角形では約3.11個分です。

つまり3.05という数字は、正六角形では届かず、正八角形ならばたった0.01差で届く、絶妙な場所にあるのです。小学生でも知っている正六角形の考え方を、もう一歩だけ前に進められるか。そこを見るための数字だと考えると、問題を作った人の意図が見えてきます。

2000年以上前に、同じことをした人がいた

実はこの「角を増やして円に近づける」という考え方は、古代ギリシアのアルキメデスが使った方法と同じです。

アルキメデスは、正六角形から始めて、角の数を倍、また倍と増やし、ついには正九十六角形まで計算しました。そして「円周率は3と「71分の10」より大きく、3と「7分の1」より小さい」、小数で言うと約3.1408と約3.1429の間にあることを示したのです。

電卓も小数もない時代に、円周率を小数第2位まで正しく絞り込んだのです。東大の問題は、いわばその「入り口」を体験させる問題だったとも言えます。

家でできる「円周率の実験」

最後に、円周率を3より大きいと体で感じられる実験を紹介します。

缶やコップなど、丸いものを用意します。ひもを周りにグルッと巻いて印をつけ、その長さを測ります。次に直径を測って、「周りの長さ÷直径」を電卓で計算してみてください。

どんな大きさの丸でも、3より少し大きい、だいたい3.1くらいの数字になるはずです。家中の丸いもので試して、いちばん3.14に近い数字が出た人の勝ち、というゲームにすると盛り上がります。

おわりに

東大の入試問題と聞くと、自分とは関係のない世界に感じるかもしれません。でも今日の問題は、小学生が習う正六角形から始まり、中学受験の正十二角形を通って、たった1歩先で東大にたどり着きました。

高校で数学を教えていて感じるのは、「円周率は3.14」と覚えている子はたくさんいても、「なぜ3より大きいのか」を説明できる子は、ほんの一握りだということです。そして、その「なぜ」を説明できる子こそが、最後に伸びていきます。

今日の夕飯のあと、お子さんに「円周率って、なんで3より大きいんだと思う?」と聞いてみてください。正六角形の絵をかき始めたら、それは東大への第一歩です。

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このnoteについて
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