文：德瑞爾．赫夫（Darrell Huff）

同時變化，因果難分

曾有人費盡心力，想釐清吸菸者的大學課業成績是否低於不吸菸者。事實證明了吸菸者的成績確實較低，許多人對此感到滿意，在那之後一直很重視這個統計數字。表面上看來，取得好成績的途徑就是戒煙；還有些人因此獲得了更進一步的結論，認為抽菸會使思想變遲鈍。

我相信這項研究的調查過程是得當的：樣本數夠大、經過誠實且謹慎的選擇、相關性（correlation）具有極高的顯著水準等。

不過，這個研究卻犯了一個古老的謬誤，這個謬誤非常容易出現在統計工具中，被大量的驚人數字隱匿在底下。這個謬誤使我們覺得，如果B跟著A出現的話，那麼就是A導致了B的出現。也就是說，人們因為抽菸和較低的成績同時出現，而做出毫無根據的假設：吸菸導致較低的成績。但說不定因果關係其實完全相反，不是嗎？或許較低的成績會促使學生抽菸而不是喝酒。追根究柢，這兩個結論的可能性一樣高，而且都同樣有證據能支持其論述。但負責宣傳的人當然不會對此感到滿意。

不過，更有可能的是，這兩個事物都沒有導致另一個事物的出現；事實上，這兩個事物都是第三個因素的產物。說不定比較善於社交的人本來就比較沒那麼認真讀書，同時也比較有可能抽較多菸？也或許我們可以從別的地方找到線索：曾有人在外向性與低分之間建立了相關性——這種相關性顯然比成績與智力之間的關係更加密切：或許外向的人比內向的人更常抽菸。重點在於，當某件事擁有非常多種合理解釋時，你沒有權利選擇合你胃口的解釋，並堅持那是對的。但有很多人都會這麼做。

為了避免陷入事後歸因的謬誤，導致最終相信許多並不為真的事物，你必須嚴格檢視所有對關係的陳述。相關性是一個具有極高說服力、似乎可以證明兩件事情具有因果關係的數字，但實際上它有許多類型。

其中一種相關性是由偶然產生的。你可以把某一組數字放在一起，用這種方式證明一些不太可能成真的事，但如果你用同樣的方法再嘗試第二次，你很可能根本無法證明任何事。就像牙膏公司提出的數據看起來似乎可以減少蛀牙一樣，只要把不想要的結果丟掉，刊登想要的結果就行了。或者只要選定的樣本數夠少，就很有可能從特徵或事件之間得到你想要的顯著相關性。

我們常看到的共變異數（covariation）就是一例，在共變異數的關係中，你無法確定哪一個變數是成因，哪一個變數是結果。在某些狀況下，兩個變數的因果關係可能會偶爾彼此對調，又或者兩者同為彼此的因與果。收入與股票所有權之間的相關性就有可能是如此。你賺的錢愈多，買的股票就愈多，而你買的股票愈多，收入就愈多；單純的指出「其中一方導致另一方的發生」是非常不準確的描述。

在各種相關性中，最棘手的或許是一個很常見的狀況：兩個變數對彼此都沒有任何影響，但又確實具有相關性。已經有許多人利用這種相關性完成各種髒活了。吸菸者與成績較差之間的關係就是這種相關性，有太多文章在未經認證的狀況下所引用的醫學統計數據也來自這種相關性，儘管這些相關性確實是真的，但其中的因果關係卻只是一種猜測。

舉例來說，曾有人興高采烈的指出一個真實的統計數字，並附上一套毫無道理的虛假相關性描述：麻薩諸塞州長老教會牧師的薪水和古巴哈瓦納（Havana）的蘭姆酒價格之間，具有非常密切的相關性。

哪個是成因，哪個是結果呢？換句話說，是這些牧師透過蘭姆酒的交易獲利？還是這些牧師在推動蘭姆酒的銷售？好啦，這種結論太牽強了，光是看一眼就會讓人覺得太過荒謬。但請小心留意其他事後歸因的應用，那些應用與這個例子之間的唯一差異，就是它們比較隱晦。在牧師與蘭姆酒的例子裡，你可以輕而易舉的看出這兩個數字，都是因為另一個因素影響而增長：幾乎全世界的所有事物都出現了史無前例的價格上漲。

讓我們用另一個數字舉例，自殺率通常會在6月達到最高峰。是自殺導致6月新娘的出現——還是6月婚禮推動突然被拋棄的人自殺？另一個更有說服力（不過同樣未經證實）的解釋，是那位花了整個冬季試圖克服憂鬱症的人一直認為到了春天事情就會好轉，但到了6月他卻仍覺得一切都糟透了，於是他放棄了。

Photo Credit: 樂金文化出版

另一件需要留意的事，是有些文章會在呈現了數據後，提出超越數據的相關性並由此推斷結論。我們可以輕而易舉的證明，當一個地區域常下雨，那裡的玉米就會長得愈高，甚至連作物都會長得愈大。這樣看來下雨似乎是一件好事。但是過度降雨的季節可能會對作物造成嚴重損害，甚至徹底毀掉所有作物。兩者之間的正相關只會維持到某一個程度，之後就會迅速變成負相關。在降雨超過某個量後，雨下得愈多，玉米產量就愈少。

相關性會顯示出某種關係傾向，不過這種傾向往往不會被描述為一對一的理想關係。平均而言，高個子男孩的體重會比矮個子男孩重，因此身高與體重具有正相關（positive correlation）。但是，你也可以輕而易舉的找到一位六英尺（180公分）高的瘦男孩，體重比一些五英尺（150公分）高的男孩更輕，因此身高與體重的關聯性小於1。

而負相關（negative correlation）是指當一個變數增加時，另一個變數傾向減少。在物理學中，負相關則會變成反比：你距離燈泡愈遠，書上的光就愈少；隨著距離增加，光的強度會降低。這種物理關係通常會十分友善的表現出完美的相關性，但來自商業界、社會學界和醫學界的數字鮮少這麼漂亮。雖然人們普遍認為教育會增加收入，但教育也很可能變成某人破產的原因。

別忘了，儘管相關性可能是真的，也可能是基於真實的因果關係，但在單一個案的決定性行動中，這種相關性仍舊幾乎毫無價值。

已經有研究蒐集了厚厚一疊數據，指出大學教育對未來收入的價值，並出版了成堆的小冊子，讓有潛力的學生注意到這些數字——還有以這些數字為基礎做出的結論。我並不打算爭論這種研究的意圖為何。我很贊成教育，尤其是那些包括了初級統計學課程的教育。現在這些數字已經表明了決定性的結論，讓你知道上過大學的人賺的錢比沒上過大學的人更多。社會上當然也有許多例外，但這個傾向既強勢且清楚。

這段論述中，唯一錯誤的，隨著這些數字與事實的出現，得出了一個完全沒有根據的結論。這就是事後歸因謬誤的絕佳案例。該結論與相關數字表明，如果你們（你的兒子或女兒）念了大學，那麼相較於不上大學而把這四年用在別的地方，念大學很可能會讓你們賺進更多錢。這種毫無根據的結論具有一個同樣毫無根據的假設，也就是受過大學教育的人之所以會賺進比較多錢，是因為他們念過大學。

雖然我們無法確定，但這些人也有可能是就算沒上大學也會賺比較多錢的那群人——有幾件事相當強烈的表明了事實如此。大學裡面有兩種小孩的數量特別多：聰明的小孩和有錢的小孩。聰明的小孩就算沒有大學知識，也可能表現出優秀的賺錢能力。至於有錢的小孩⋯⋯有錢人顯然有很多方式可以用錢滾錢。無論有沒有念大學，都很少會出現有錢人的小孩落入低收入階層的狀況。

以下內容摘自一份發行量極大的週日增刊雜誌所刊登的一篇問答式文章。值得令人玩味的是，此文章的作者曾發表過的另一篇文章，名為〈流行觀念：是真是假？〉（Popular Notions : True or False?）。

問：念大學對你保持未婚狀態有什麼影響？
答：如果你是女人，你成為未婚女性的機率將直線飆升。但如果你是男人，大學會帶來相反的效果——大幅減少保持單身的機率。

康乃爾大學（Cornell University）曾對1500名大學畢業的中年人進行研究調查。在男性中，93%已婚（相較之下，男性一般群眾的已婚率是83%）。

但在大學畢業的中年女性中，只有65%已婚。女性單身的比例，大學畢業的中年女性是一般女性群眾的三倍。

17歲的蘇西．布朗（Susie Brown）讀到這篇研究時意識到，相較於不念大學，念大學之後的結婚機率會變得較低。這篇文章就是這麼說的，而且文章中附上的統計數字具有信譽良好的資料來源。儘管這些數字與結論相符，但這些數字其實不能支持該結論的正確性；此外我們還要留意，雖然這些統計數字來自康乃爾大學，但結論卻不是，不過，匆促閱讀這篇文章的讀者很可能會覺得結論也來自康乃爾大學。

我們再次看到，真實的相關性被拿來支持未經證實的因果關係。或許這個結論把因果弄反了，就算這些女性沒有念大學，她們也不會結婚。說不定這些念大學的女性如果沒有念大學，結婚率會變得更低。如果這些論述的可能性幾乎等同於作者堅持的結論，那麼這些論述的有效程度想必也和作者的結論相當：全都只是猜測。

請蘇西．布朗特別留意：事實並不一定如此。

一篇醫學文章曾以格外憂慮的態度指出，喝牛奶的人有較高機率罹患癌症。癌症在新英格蘭地區、明尼蘇達州、威斯康辛州和瑞士出現得愈來愈頻繁，這些地方的牛奶生產量與消費量都很大，而牛奶產量極少的錫蘭（Ceylon，斯里蘭卡）則仍然少有癌症。為了進一步證明此事，文章指出在美國南方一些牛奶消費量較少的州，出現癌症的機率也比較低。此外，文章還提到，相較於較少喝牛奶的日本女性，常喝牛奶的英國女性罹患某些癌症的比例是日本女性的18倍。

只要稍微深入挖掘，就會發現有許多方法都能解釋這些數字。不過，其實只需要一個因素就足以做出解釋了：癌症是一種主要會在中年或中年過後發作的疾病。瑞士和一開始提到的那幾個州，同樣具有相對較長的人口壽命。在進行這項研究時，英國女性的平均壽命比日本女性多出12年（編按：現在日本女性平均壽命已超過英國平均）。

海倫．M．沃克教授（Helen M. Walker）提出了一個有趣的例證，說明如果每次兩件事都會一起變化時，就假設兩者具有因果關係是多麼的愚蠢。在調查女性的年齡與部分身體特徵之間的關係時，研究人員會先測量女性走路時的腳掌角度。你會發現年齡較大的女性走路時的腳掌角度會比較大。

一開始，你可能會覺得這或許代表女性會因為外八而變老，接著你立刻意識到這個結論有多荒謬。那麼，顯然這兩者的因果關係是年齡增加會使得腳掌角度增加，而且多數女人必定會隨著逐漸老化而變得更加外八。

所有類似的結論都很有可能是錯的，而且當然也是沒有根據的。想要得到具有正當性的結論，你必須在一段時間之內研究同一群女性，或盡可能以相等的兩個群體來研究。這麼做才能消除導致此統計數字的真正原因：在較年長的女性成長的時代，人們會教導年輕的女性外八走路，而在如今比較年輕的女性成長的時代，人們則比較不鼓勵外八走路姿勢。

若你注意到有些人（通常可能是因此獲利的一群人），因為某個關聯性而過度激動的話，請先檢視一下那是不是這種因為連續發生的事件或時間趨勢而產生的。在如今這個時代，想要提出兩件事物間的正相關是很容易的一件事：大學學生人數、精神病院收容人數、香菸消費量、心臟病發病率、Ｘ光機使用次數、假牙製造量、加州教師薪資、內華達州賭場的利潤。把這之中的其中一件事稱為另一件事的成因顯然是愚蠢的行為。但如今每天都有人這麼做。

Photo Credit: 樂金文化出版

許多人都利用統計方法以及數字與小數點的催眠效果來混淆因果關係，如果你允許這種事情發生，那就跟迷信沒有兩樣。而且，這種混淆所誤導出來的結果往往比迷信更嚴重。這就像是新赫布里群島（New Hebrides）的人，堅信體蝨（lice）能帶來健康的身體一樣。他們透過數個世紀以來的觀察發現，身體健康的人通常都有體蝨，而病人往往沒有。

這個觀察本身既準確又切實，而我們在其他文章中看到的多年非正式觀察往往也準確又切實得令人驚訝。不過，這些原住民從證據中得出的結論倒是令人不敢苟同：體蝨使人保持健康，每個人都應該擁有體蝨。

正如我們剛剛提到的，許多人靠著比新赫布里人更不足的證據——他們只要把數字放進統計學磨坊裡，直到常識再也看不透這些數字就行了——在醫療方面賺進大筆財富，並在雜誌中發表醫學文章，其中也包括專業雜誌。後來終於有判斷力更好的觀察家釐清新赫布里群島到底發生了什麼事：原來這些社群中幾乎每個人都擁有體蝨。

或許可以說，對他們來說有體蝨才是正常狀態。不過，只要有人發燒了（很可能是因為體蝨帶來的疾病），這個人的身體就會因為溫度過高而不適合體蝨居住，於是體蝨就會離開。這正是個成因與結果以無比混亂的方式扭曲、顛倒、交纏的案例。

書籍介紹

本文摘錄自《統計操控的真相與謊言：別再讓數字騙了你！一眼看穿投資詐局、不實廣告與虛假民調，打造最強的自我保護力與決策判斷力》，樂金文化出版

作者：德瑞爾．赫夫（Darrell Huff）
譯者：聞翊均

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「本書是我今年在TED上向大家推薦的幾本書之一。它於1954年首次出版，但……它並沒有讓人感覺過時。這本書是對統計數據如何被使用的精采介紹，對精通統計的人來說也是實用的複習。」——比爾．蓋茲

「統計數據經過科學背書，不會有錯。」
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日常生活中，經常有許多的統計數字、圖表，出現在廣告或是新聞中。這些數字看似經過嚴謹的科學驗證，再可信不過。然而，實際追究產出這些數字與圖表的過程，便會發現事情並非像你想的那麼簡單。

「數字會說話」，但說的並不都是真話

讓數字說話的，是人；有些人犯了無心之誤，有些則會刻意變造。人們可以根據自己的意圖與目的，讓這些數字說出對自己有利的話，但這些訊息與事實多半存在落差。

本書要仔細探究這些統計結果或宣稱從何而來，一窺其中隱藏的真相。作者帶領讀者一一破解謊言、宣傳與不實的宣稱，可以用來參透各式產品在販售過程中貌似高深和科學的陷阱，提高投資者的防範能力。

請看！魔鬼藏在細節裡

看似中立的數字，卻能在有心或無意的情況下愚弄閱聽人。隨著不同的呈現方式，數字反而會呈現虛假或迴避，圖利發表者，而非充分揭露資訊。

例如，無論是新聞還是廣告，我們經常可以看到類似標題：「經實驗證明，Ｘ牌牙膏能有效減少23%的蛀牙」「據統計，喝牛奶的人罹患Ｙ癌症的機會，是不喝牛奶的人的Ｚ倍」「某大學調查發現，女性碩士的未婚人數，占所有30到40歲未婚女性的一半」——這些都是常見的說詞，但其中卻隱藏足以欺騙或影響認知的小細節，例如：

  • 內建偏誤的民調：抽樣方式有所偏誤或樣本數不夠大，都無法精準呈現真實的狀況；
  • 精心挑選的平均值：中位數、眾數、算術平均數——選擇對使用者最有利的方式，就能巧立名目；
  • 似是而非的相關性：「關係」，是可以創造的。根本無關的兩件事也可以解讀為密切相關。

小心！圖像當道是陷阱

資訊爆炸的今天，許多媒體、自媒體往往以圖像呈現訊息，讓受眾能快速吸收。以統計資料製作的圖表，更比數字本身容易為人所接受。然而，這些圖表並非僅是由數字轉換而來，其中往往因製作者有心或無意的捏造或失誤，而具有誤導性。

  • 折線圖：裁切表格或改變縱座標比例，就能呈現驚人的上升趨勢！相反的，也可以讓趨勢看起來不那麼明顯；
  • 吸睛圖像的圖表：像是用小人代表人數、錢袋代表金額等。用來比較的兩張圖如果數字是兩倍，轉換為圖像後，因為長、寬都等比例放大，所以實際上是四倍。

……更多關於統計數據如何誤導、愚弄閱聽者的細節，盡在本書。

五大招，隨時識破假民調或商業騙局

仔細探究統計數據或分析報告從何而來，就能夠窺見其中隱藏的真相。我們可以利用五個提問學會正確解讀：

1. 說話者「是誰」？
若發現文章引用了好聽的名字，請確保名字是資訊的後盾，而且並非利益關係人。

2. 他「如何得知」？
留意樣本或許具有偏誤的可能；或是，樣本數是否大到具有意義？

3. 是否有所「缺漏」？
可以自問：「其中少了什麼？」可能是樣本數、可信度、原始數字或基數等。

4. 「主題」改變了嗎？
注意原始數字和結論之間的轉換過程。

5. 論述「合理」與否？
有些論述的基礎是未經證實的假設；有些論述的過去趨勢或許是真的，但未來趨勢只是推測。

本書自出版以來熱賣數十年，已翻譯為22種語言，銷量超過50萬冊，至今仍是許多統計學課堂上的必讀書籍。作者以幽默風趣又深入淺出的方式，解說統計學方法與概念，帶領讀者一一破解謊言、宣傳與不實的宣稱，老實人終於不必再被數字的伎倆欺騙！

Photo Credit: 樂金文化出版

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責任編輯：翁世航
核稿編輯：潘柏翰